Modelo de regresión lineal que mejor se adapta a datos con errores

Estoy buscando el algoritmo de regresión lineal que sea más adecuado para datos cuya variable independiente (x) tiene un error de medición constante y la variable dependiente (y) tiene un error dependiente de la señal.

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La imagen de arriba ilustra mi pregunta.

— usuario46178
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Si la variable constante x tiene un error de medición constante, y los errores se usan solo para ponderar las variables de forma relativa, ¿no es esta situación equivalente a no tener errores en x?

— pedrofigueira

@pedro Ese no es el caso, porque los errores en no son meras ponderaciones en una fórmula. Con la regresión de errores en variables, los ajustes diferirán y las estimaciones de covarianza de los parámetros diferirán de la regresión ordinaria.

x

$x$

— whuber

Gracias por la aclaración. ¿Podría ampliar un poco sobre por qué ese es el caso?

— pedrofigueira

Error de medida en la variable dependiente

Dado un modelo lineal general con homosckedastic, no autocorrelacionado y no correlacionado con las variables independientes, deje que denote la variable "verdadera", y su medida observable El error de medición se define como su diferencia Por lo tanto, el modelo estimable es: Dado que son observado, podemos estimar el modelo por OLS. Si el error de medición en es estadísticamente independiente de cada variable explicativa, entonces

\begin{matrix} (1) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$

ε

$\varepsilon$

y^{*}

$y^*$

y

$y$

e = y - y^{*}

$e=y-y^*$

\begin{matrix} (2) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + e + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$

y

$y$

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$ comparte las mismas propiedades que y los procedimientos de inferencia OLS habituales ( estadísticas, etc.) son válidos. Sin embargo, en su caso, esperaría una variación creciente de . Podrías usar:

ε

$\varepsilon$

t

$t$

e

$e$

un estimador ponderado de mínimos cuadrados (por ejemplo, Kutner et al. , §11.1; Verbeek , §4.3.1-3);
el estimador OLS, que aún es imparcial y consistente, y los errores estándar consistentes con la heterocedasticidad, o simplemente los errores estándar de Wite ( Verbeek , §4.3.4).

Error de medida en la variable independiente

Dado el mismo modelo lineal que el anterior, dejemos que denote el valor "verdadero" y su medida observable. El error de medición es ahora: Hay dos situaciones principales ( Wooldridge , §4.4.2). $x_k^*$ $x_k$

e_{k} = x_{k} - x_{k}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ : el error de medición no está correlacionado con la medida observada y, por lo tanto, debe correlacionarse con la variable no observada ; escribir y enchufar esto en (1): ya que y ambos no están correlacionados con cada , incluyendo , la medición solo aumenta la varianza del error y no viola ninguno de los supuestos de OLS; $x^*_k$ $x_k^*=x_k-e_k$
$y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + (ε - β_{k} e_{k})$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ $\varepsilon$ $e$ $x_j$ $x_k$
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ : el error de medición no está correlacionado con la variable no observada y, por lo tanto, debe correlacionarse con la medida observada ; tal correlación causa problemas y la regresión de OLS de en generalmente da estimadores sesgados y sin consistencia. $x_k$ $y$ $x_1,\dots,x_k$

Hasta donde puedo adivinar mirando su gráfico (errores centrados en los valores "verdaderos" de la variable independiente), podría aplicarse el primer escenario.

— Sergio
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