Malentendido de la estimación de Monte Carlo Pi

Estoy bastante seguro de que entiendo cómo funciona la integración de Monte Carlo, pero no entiendo la formulación de cómo se usa para estimar Pi. Voy por el procedimiento descrito en la 5ta diapositiva de esta presentación http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Entiendo los pasos preliminares. Pi es igual a 4 veces el área de un cuarto del círculo unitario. Y el área del cuarto superior derecho del círculo unitario centrado en (0,0) es equivalente a la integral de la curva que es el cuarto superior derecho del círculo unitario en y . $0<x<1$ $0<y<1$

Lo que no entiendo es cómo es esta integral

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

donde se distribuye uniformemente en el cuadrado de la unidad alrededor del cuarto de círculo (es decir, siempre es igual a 1 si y y 0 de lo contrario). Esto significaría que es la función que es el cuadrante superior derecho del círculo unitario en y $P(x,y)$ $0<x<1$ $0<y<1$ $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$ pero no entiendo cómo esto es cierto ya que la función del indicador solo puede ser 1 o 0. Entiendo que probablemente esté escrito de esta manera para facilitar el muestreo de Monte Carlo (es decir, es una expectativa, así que solo muestree de y obtenga el promedio de las muestras aplicadas a ) pero simplemente no tiene sentido intuitivo para mí por qué esa integral representa el área bajo esa curva. $0<y<1$ $P(x,y)$ $I((x^2+y^2)<1)$

¿Podría alguien proporcionar una explicación intuitiva de esto? ¿Quizás mostrar cómo se derivó esa integral paso a paso?

EDITAR:

Pude obtener una mejor comprensión al relacionar las expectativas con un área. Lo explicaré aquí en caso de que ayude a alguien. Primero comience relacionando Pi con el área del cuadrante superior derecho del círculo unitario

$\pi=4\times A_{tr}$

Luego colocamos el cuadrante superior derecho en el cuadrado de la unidad. Y bajo una distribución uniforme sobre el cuadrado de la unidad, el área del cuadrante del círculo es proporcional a la probabilidad de obtener una muestra de él. Se deduce que la siguiente igualdad es válida

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

$A_{square}=1$

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

Y sustituyendo en la ecuación original

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Entonces lo entendí relacionando el área con una probabilidad y luego relacionando esa probabilidad con una expectativa que es equivalente a la integral. Avísame si he cometido algún error.

monte-carlo indicator-function

— usuario1893354
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Respuestas:

$l$ $\pi l^2$ $l^2\pi/4$ $area=l^2$

$\pi/4$

$(x,y)$ $0<x<1, 0<y<1$ $0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Donbeo
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Supongo que me está costando mucho establecer una conexión entre los términos dentro de la integral y la curva misma. Si trazó I (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) para diferentes valores de x e y, no obtendría la curva. ¿Porqué es eso?

— user1893354

{(x, y) : (x^{2} + y^{2} < 1), (0 < x < 1), (0 < y < 1)}

$\left\lbrace (x,y):(x^2+y^2<1), (0<x<1), (0<y<1) \right\rbrace$

Estoy de acuerdo con eso. Pero cuando aplica la función de indicador I (.), Todos se

— colocan en

¿Qué quieres decir?

— Donbeo

\int_{q u a r t e r o f c i r c l e} = \int 1 (x^{2} + y^{2} < 1) * 1 (0 < x < 1) * 1 (0 < y < 1)

$\int_{quarter~ of~ circle} = \int 1(x^2+y^2<1)*1(0<x<1)*1(0<y<1)$

$E(I(A)) = P(A)$ $\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$ $x$ $y$ $x^2 + y^2 <1$

$(x,y)$ $A$ $A$

— jsk
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Así es como lo entiendo también. Pero tengo problemas para conectarlo a la formulación Pi = 4x (área del cuarto de círculo). Realmente no tiene sentido intuitivo comparar áreas con muestras. Supongo que la conexión es que bajo una distribución uniforme, el número de muestras es proporcional al área.

— usuario1893354

@ user1893354 Respuesta revisada. Avísame si eso ayuda a tu intuición.

— jsk

$\pi$ $[0,1]$

$\pi/4$ $(x,y)$ $1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$ $∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Podemos trazar los valores que caen dentro del radio entre 10,000 sorteos:

Y podemos, naturalmente, acercarnos cada vez más al seleccionar más puntos. Con 1 millón de puntos obtenemos:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

Un resultado muy aproximado. Aquí está la trama:

— Antoni Parellada
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