Los algoritmos de procesamiento de señales definidos en tiempo / espacio / frecuencia continuos se implementan típicamente muestreando la señal en una cuadrícula discreta y convirtiendo integrales en sumas (y derivadas en diferencias). Los filtros espaciales se implementan mediante convolución con un núcleo de convolución (es decir, suma ponderada de vecinos).
Existe un gran conocimiento sobre el filtrado de señales de dominio de tiempo muestreadas; los filtros en el dominio del tiempo se implementan como filtros de respuesta de impulso finito , donde la muestra de salida actual se calcula como una suma ponderada de las N muestras de entrada anteriores; o filtros de respuesta de impulso infinito, donde la salida de corriente es una suma ponderada de las entradas y salidas anteriores . Formalmente, los filtros de tiempo discreto se describen utilizando la transformación z , que es el análogo de tiempo discreto de la transformada de Laplace . La transformación bilineal se mapea una a la otra ( c2dy d2cen Matlab).
¿Cómo evaluaría las funciones en puntos arbitrarios?
Cuando necesita el valor de una señal en un punto que no se encuentra directamente en su cuadrícula de muestreo, interpola su valor desde puntos cercanos. La interpolación puede ser tan simple como elegir la muestra más cercana, calcular un promedio ponderado de las muestras más cercanas o ajustar una función analítica arbitrariamente complicada a los datos muestreados y evaluar esta función en las coordenadas necesarias. Interpolar en una cuadrícula más fina y uniforme es el muestreo ascendente . Si su señal original (continua) no contiene detalles (es decir, frecuencias) más finos que la mitad de la cuadrícula de muestreo, entonces la función continua puede reconstruirse perfectamente a partir de la versión muestreada (el teorema de muestreo Nyquist-Shannon ). Para ver un ejemplo de cómo puede interpolar en 2D, veainterpolación bilineal .
En Matlab puede usar interp1o interp2para interpolar datos 2D 1D o muestreados regularmente (respectivamente), o griddatapara interpolar datos 2D muestreados irregularmente.
¿Tendría un bucle for pasando por cada vóxel y calculando la fórmula correspondiente?
Sí exactamente.
Matlab le evita tener que hacer esto a través de bucles for explícitos porque está diseñado para operar en matrices y vectores (es decir, matrices multidimensionales). En Matlab esto se llama "vectorización". Integrales definidas se pueden aproximar con sum, cumsum, trapz, cumtrapz, etc.
He leído el libro "Procesamiento digital de imágenes" de González y Woods, pero todavía estoy perdido. También he leído sobre la serie de libros Recetas Numéricas. ¿Sería esa la forma correcta?
Sí, las recetas numéricas serían un gran comienzo. Es muy práctico y cubre la mayoría de los métodos numéricos que terminarás necesitando. (Encontrará que Matlab ya implementa todo lo que necesita, pero las Recetas Numéricas le proporcionarán una excelente experiencia).
He tomado una clase de "algoritmos y estructuras de datos", pero no veo la relación entre el material presentado allí y la implementación de algoritmos científicos.
El material tratado en cursos de "Algoritmos y estructuras de datos" tiende a concentrarse en estructuras como listas, matrices, árboles y gráficos que contienen enteros o cadenas y operaciones como ordenar y seleccionar: problemas para los que generalmente hay un único resultado correcto. Cuando se trata de algoritmos científicos, esto es solo la mitad de la historia. La otra mitad se refiere a métodos para estimar números reales y funciones analíticas. Encontrará esto en un curso sobre "Métodos numéricos" (o "Análisis numérico"; como este- desplácese hacia abajo para las diapositivas): cómo estimar funciones especiales, cómo estimar integrales y derivadas, etc. Aquí una de las tareas principales es estimar la precisión de su resultado, y un patrón común es iterar una rutina que mejore estimar hasta que sea lo suficientemente preciso. (Puede preguntarse cómo sabe Matlab cómo hacer algo tan simple como estimar un valor sin(x)para algunos x).
Como un simple ejemplo, aquí hay un script corto que calcula una transformación de radón de una imagen en Matlab. La transformación de radón toma proyecciones de una imagen sobre un conjunto de ángulos de proyección. En lugar de tratar de calcular la proyección a lo largo de un ángulo arbitrario, en lugar de eso giro toda la imagen imrotate, de modo que la toma de proyección sea siempre vertical. Entonces podemos tomar la proyección simplemente usando sum, ya que el sumde una matriz devuelve un vector que contiene la suma sobre cada columna.
Puedes escribir el tuyo imrotatesi lo prefieres, usando interp2.
%%# Home-made Radon Tranform
%# load a density map (image).
A = phantom;
n_pixels = size(A, 1); %# image width (assume square)
%# At what rotation angles do we want to take projections?
n_thetas = 101;
thetas = linspace(0, 180, n_thetas);
result = zeros(n_thetas, n_pixels);
%# Loop over angles
for ii=1:length(thetas)
theta = thetas(ii);
rotated_image = imrotate(A, theta, 'crop');
result(ii, :) = sum(rotated_image);
end
%# display the result
imagesc(thetas, 1:n_pixels, result.');
xlabel('projection angle [degrees]');
Lo que una vez fue una integral de la densidad a lo largo de un rayo ahora es una suma sobre una columna de una imagen muestreada discretamente, que a su vez se encontró al interpolar la imagen original sobre un sistema de coordenadas transformado.