¿Qué filtros IIR se aproximan a un filtro gaussiano?

Así que recientemente me di cuenta de que los filtros de Bessel, a pesar de estar listados junto con los otros tipos comunes, son realmente un bicho raro que pertenece a una "clase" diferente, y estoy tratando de aprender más al respecto.

La respuesta de magnitud rectangular representa la respuesta de dominio de frecuencia ideal, ya que la banda de transición es cero y la banda de detención tiene atenuación infinita. La respuesta de magnitud gaussiana, por otro lado, representa la respuesta ideal en el dominio del tiempo, ya que no se producen sobreimpulsos en la respuesta al impulso y la respuesta escalonada. Muchas de las respuestas obtenidas en la práctica son aproximaciones a estas ^fuentes ideales.

Entonces, un filtro brickwall es una convolución con una función sinc, y tiene estas propiedades de dominio de frecuencia:

• Banda de paso plana
• Banda de detención cero
• Velocidad de caída infinita / sin banda de transición

No es causal e irrealizable debido a las colas infinitas en ambas direcciones. Se aproxima mediante estos filtros IIR, y la aproximación mejora a medida que aumenta el orden:

• Butterworth (banda de paso máximamente plana)
• Chebyshev (tasa de caída máxima con banda de detención o ondulación de la banda de paso)
• Elíptica (velocidad de caída máxima con banda de detención y ondulación de banda de paso)
• Legendre (tasa de caída máxima con banda de paso monotónica)

El filtro gaussiano es una convolución con una función gaussiana y tiene estas propiedades de dominio de tiempo:

• Sobreimpulso cero
• Tiempo mínimo de subida y bajada
• Retraso mínimo de grupo

Es irrealizable por las mismas razones que la función sinc, y puede ser aproximado por estos filtros IIR, más de cerca a medida que aumenta el orden:

• Bessel (retraso máximo del grupo plano) ^{según 1 y 2}

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

Entonces mis preguntas son:

¿Está todo bien hasta ahora? Si es así, ¿hay otros filtros IIR que se aproximen al gaussiano? ¿Para qué están optimizados? Tal vez uno que minimiza el exceso?

Si busca "IIR Gaussian" puede encontrar algunas cosas (Deriche? Van Vliet?), Pero no sé si realmente son lo mismo que Bessel o si se optimizan para alguna otra propiedad, etc.

Los filtros Deriche y van Vliet son heurísticos. En ambos casos, eligen las ubicaciones de los polos y ceros para minimizar la diferencia RMS o la diferencia máxima de la respuesta al impulso del filtro de un gaussiano.

Ambos filtros son pares causales-anti-causales. Por lo tanto, creo que no tienen error de fase o retraso de grupo, pero debe poder ejecutarlos hacia atrás en los datos, así como hacia adelante. Esto los hace populares en el procesamiento de imágenes, pero quizás restringe su aplicabilidad en otros lugares.

Que son heurísticas se evidencia por la gran cantidad de documentos que los modifican. Por ejemplo, una búsqueda en Google (mientras buscaba el enlace al documento de Deriche) apareció en este que intenta resolver el problema de que el derivado de Deriche de filtro gaussiano no tiene exactamente una respuesta DC 0. También hay algunos problemas interesantes sobre la inicialización correcta de las condiciones de contorno .

El siguiente resumen es un buen recurso: Dave Hale, Filtros Gaussianos Recursivos , Centro de Fenómenos de Onda de la Escuela de Minas de Colorado, informe CWP-546.

Creo que dio un buen resumen de las soluciones analíticas existentes para filtros IIR de tiempo discreto. Pero también agregaría filtros Bessel a la lista de filtros que se aproximan a las características ideales de filtro selectivo de frecuencia. Su respuesta de magnitud no muestra una transición tan aguda como los otros tipos de filtro del mismo orden, pero este es el precio que paga por una fase casi lineal en la banda de paso. Por lo tanto, el filtro de Bessel es un compromiso entre una respuesta de magnitud selectiva de frecuencia y una buena respuesta de fase.

Para aproximar un filtro gaussiano con filtros IIR, no conozco ninguna solución analítica, aparte del filtro de Bessel que mencionó. Pero tenga en cuenta que el filtro de Bessel no estaba destinado a aproximarse a un filtro gaussiano, por lo que no estoy seguro de qué tan bueno es realmente para aproximar dicho filtro. Si realmente desea un filtro IIR para este propósito, le sugiero que busque una aproximación numérica del filtro gaussiano. Hay varias opciones para hacerlo.

Podría intentar aproximar el filtro gaussiano en el dominio de frecuencia. El problema es que debe tomar alguna decisión con respecto a la respuesta de fase deseada. Una aproximación de magnitud pura con una respuesta de fase mínima muy probablemente dará como resultado propiedades de dominio de tiempo muy pobres. Si especifica una fase lineal deseada, obtiene un problema complejo de aproximación (porque aproxima la respuesta de frecuencia compleja con magnitud y fase). Aunque tal problema de aproximación puede ser bastante difícil de resolver, existen métodos en la literatura.

Un enfoque más simple y probablemente mejor es aproximar el filtro gaussiano en el dominio del tiempo. El método de Prony sería un buen punto de partida.

Tenga en cuenta que estos son solo mis pensamientos sobre el tema. Yo no he intentado diseñar un filtro gaussiano IIR. De hecho, optaría por una implementación FIR a menos que haya muy buenas razones en su contra.

EDITAR: solo algunas observaciones más sobre la cuestión de si un filtro Bessel se aproxima a un gaussiano o no. No conozco ningún criterio de error significativo que el filtro de Bessel minimice al aproximar un filtro gaussiano. Sin embargo, me alegraría saberlo. La gente puede afirmar que la respuesta de impulso de un filtro de Bessel es similar a la gaussiana, o que su respuesta de frecuencia se asemeja a una gaussiana, pero todavía no he visto ninguna prueba de que los filtros de Bessel se aproximen a un gaussiano en ningún sentido, y que el error de aproximación va a cero a medida que aumenta el orden del filtro. No niego que sea más similar a un gaussiano que a otros filtros estándar (Butterworth, Chebyshev, etc.), pero esto no es importante para la pregunta.

Vea a continuación cuatro gráficos de respuestas de impulso de los filtros Bessel (órdenes 5, 10, 15, 20), diseñados en Octave (función besself). Como puede ver, el zumbido en la cola no disminuye al aumentar el orden del filtro, y no veo cómo estos filtros se aproximan a un gaussiano y, de ser así, según qué criterio de optimización. Sin embargo, si alguien puede aclararme sobre esto, estaría más que feliz.