¿Una matriz de Bernoulli asimétrica satisface el RIP?

Defina una matriz de detección por con probabilidad , y con probabilidad . ¿ satisface la propiedad de isometría restringida ? $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

Como referencia, el caso simétrico se responde en el siguiente documento:

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore y MB Wakin, "Una prueba simple de la propiedad de isometría restringida para matrices aleatorias", Aproximación constructiva, 28 (3) pp. 253-263, diciembre de 2008. ( pdf )

compressive-sensing

— olivia
fuente

Esto puede ser un puntero: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (desafortunadamente, está abonado y no he encontrado una copia de OA). No conozco el documento en detalle, pero lo que puedo ver a simple vista es que no consideran un caso tan general como usted lo solicita; consideran p = 1/2. Además, no sé cuán minuciosos son sobre el RIP de tales matrices.

— Thomas Arildsen

Esto también podría ser una pista: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (página 98). Desafortunadamente, parece que lo que él llama las variables aleatorias de Bernoulli son aleatorias +/- 1 - no 0/1 (llamaría a estas Rademacher).

— Thomas Arildsen

Permítanme repetir la esencia de un comentario que hice en la publicación idéntica (ahora eliminada) sobre estadísticas . SE : Sería útil hacer esta pregunta más precisa e indicar qué es exactamente lo que le interesa y qué le cuesta adaptar. El comentario de @Thomas es relevante; tampoco sabemos en qué grado (es decir, orden) de escasez le interesa. Incluso si consideramos las funciones de Rademacher, la respuesta es claramente no en ningún sentido uniforme (en ), para que sea (o, lo suficientemente cerca) ) para que haya (una alta probabilidad de) que una submatriz sea una sola. (cont.)

p

$p$

p

$p$

1

$1$

— cardenal

Al elegir una secuencia como una función de , esto se hará realidad para algunas para cualquier matriz de tamaño. Por otro lado, para fijo , si, modificamos la construcción para que con probabilidad y con probabilidad , entonces la respuesta es claramente sí , ya que esto se desprende de la teoría mucho más general relacionada con matrices aleatorias subgaussianas de media cero.

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$

p

$p$

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$

(1 - p)

$(1-p)$

— cardenal

gracias @cardinal, la matriz no es media cero, pero la teoría de las matrices aleatorias subgaussianas responde esta pregunta. Me preguntaba cómo podría satisfacer el RIP dado que no conserva la norma, pero es obvio que hay una escala adecuada de que sí lo hace

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Olivia

Como otros han dicho en los comentarios, la respuesta es "No". La media distinta de cero de la matriz dicta que un vector medio distinto de cero (digamos todos) tendrá una ganancia sustancialmente mayor que un vector aleatorio con media cero (digamos uniformemente aleatorio + 1, -1).

Considere la norma al cuadrado de A por un vector constante y se espera que sea n * (p * N) ^ 2. (iteración de expectativas)

Se espera que la norma al cuadrado de A por un vector x dibujado uniformemente de (-1, + 1) sea n * (p * N). (calculable por la suma de las variaciones de la distribución binomial)

Las normas de x e y son las mismas, pero la expectativa de las normas transformadas difiere por un factor de p * N - divergente a medida que las dimensiones crecen.

Aquí está el código matlab para ayudar a demostrar.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— Mark Borgerding
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