¿Qué herramientas matemáticas existen para comprender el ruido modulado?

Supongamos que tenemos una señal $n$ que consiste en ruido blanco gaussiano. Si modulamos esta señal multiplicándola por $\sin 2\omega t$ , la señal resultante todavía tiene un espectro de potencia blanco, pero claramente el ruido ahora está "agrupado" en el tiempo. Este es un ejemplo de un proceso cicloestacionario .

X (t) = norte (t) pecado 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Supongamos que ahora demodulamos esta señal a una frecuencia $\omega$ mezclándola con osciladores locales seno y coseno, formando señales I y Q:

yo = X (t) \times pecado ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = X (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Observando ingenuamente que el espectro de potencia de $x(t)$ (tomado en un intervalo de tiempo mucho mayor que $1/f$ ) es blanco, esperaríamos que $I$ y $Q$ contengan ruido gaussiano blanco de la misma amplitud. Sin embargo, lo que realmente sucede es que la cuadratura $I$ muestrea selectivamente las porciones de la serie de tiempo $x(t)$ con alta varianza, mientras que $Q$ , noventa grados fuera de fase, muestrea las porciones de menor varianza:

representación de ruido modulado

El resultado es que la densidad espectral de ruido en I es $\sqrt{3}$ veces la de $Q$ .

Claramente, debe haber algo más allá del espectro de potencia que sea útil para describir el ruido modulado. La literatura de mi campo tiene una serie de documentos accesibles que describen el proceso anterior, pero me gustaría aprender cómo las comunidades de procesamiento de señales / EE lo tratan de manera más general.

¿Cuáles son algunas herramientas matemáticas útiles para comprender y manipular el ruido cicloestacionario? Cualquier referencia a la literatura también sería apreciada.

Referencias

Niebauer et al, "Ruido de disparo no estacionario y su efecto sobre la sensibilidad de los interferómetros". Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
fuente

Con el fin de obtener los resultados que muestran, el demodulador debe downconvert por la misma frecuencia portadora,

, no sólo

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@ Jason R, Ah, veo que cometí un error con la modulación original de

. Se debe a un error al cambiar del ruido de Poisson al ruido gaussiano.

2 ω

$2\omega$

— nibot

No estoy seguro específicamente de lo que estás buscando aquí. El ruido se describe típicamente a través de su densidad espectral de potencia, o de manera equivalente, su función de autocorrelación; La función de autocorrelación de un proceso aleatorio y su PSD son un par de transformadas de Fourier. El ruido blanco, por ejemplo, tiene una autocorrelación impulsiva; Esto se transforma en un espectro de potencia plano en el dominio de Fourier.

Su ejemplo (aunque algo poco práctico) es análogo a un receptor de comunicación que observa ruido blanco modulado por la portadora a una frecuencia de portadora de $2 \omega$ . El receptor de ejemplo es bastante afortunado, ya que tiene un oscilador que es coherente con el del transmisor; no hay desfase entre las sinusoides generadas en el modulador y el demodulador, lo que permite la posibilidad de una conversión descendente "perfecta" a la banda base. Esto no es poco práctico por sí solo; Existen numerosas estructuras para receptores de comunicaciones coherentes. Sin embargo, el ruido se modela típicamente como un elemento aditivo del canal de comunicación que no está correlacionado con la señal modulada que el receptor busca recuperar; Sería raro que un transmisor realmente transmita ruido como parte de su señal de salida modulada.

Con eso fuera del camino, sin embargo, una mirada a las matemáticas detrás de su ejemplo puede explicar su observación. Para obtener los resultados que usted describe (al menos en la pregunta original), el modulador y el demodulador tienen osciladores que funcionan a una frecuencia y fase de referencia idénticas. El modulador genera lo siguiente:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

El receptor genera las señales I y Q convertidas de la siguiente manera:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Algunas identidades trigonométricas pueden ayudar a desarrollar y poco más: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Ahora podemos reescribir el par de señales convertidas hacia abajo como:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

El ruido de entrada es de media cero, por lo que y también son de media cero. Esto significa que sus variaciones son: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

$I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

The expectations are taken over the random process $n(t)$ 's time variable $t$ . Since the functions are deterministic and periodic, this is really just equivalent to the mean-squared value of each sinusoidal function over one period; for the values shown here, you get a ratio of $\sqrt 3$ , as you noted. The fact that you get more noise power in the I channel is an artifact of noise being modulated coherently (i.e. in phase) with the demodulator's own sinusoidal reference. Based on the underlying mathematics, this result is to be expected. As I stated before, however, this type of situation is not typical.

Although you didn't directly ask about it, I wanted to note that this type of operation (modulation by a sinusoidal carrier followed by demodulation of an identical or nearly-identical reproduction of the carrier) is a fundamental building block in communication systems. A real communication receiver, however, would include an additional step after the carrier demodulation: a lowpass filter to remove the I and Q signal components at frequency $4 \omega$ . If we eliminate the double-carrier-frequency components, the ratio of I energy to Q energy looks like:

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver: signal that is placed in the in-phase (I) channel is carried into the receiver's I signal with no leakage into the quadrature (Q) signal.

Edit: I wanted to address your comments below. For a quadrature receiver, the carrier frequency would in most cases be at the center of the transmitted signal bandwidth, so instead of being bandlimited to the carrier frequency $\omega\$ , a typical communications signal would be bandpass over the interval $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ , where $B$ is its modulated bandwidth. A quadrature receiver aims to downconvert the signal to baseband as an initial step; this can be done by treating the I and Q channels as the real and imaginary components of a complex-valued signal for subsequent analysis steps.

With regard to your comment on the second-order statistics of the cyclostationary $x(t)$ , you have an error. The cyclostationary nature of the signal is captured in its autocorrelation function. Let the function be $R(t, \tau)$ :

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Because of the whiteness of the original noise process $n(t)$ , the expectation (and therefore the entire right-hand side of the equation) is zero for all nonzero values of $\tau$ .

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

The autocorrelation is no longer just a simple impulse at zero lag; instead, it is time-variant and periodic because of the sinusoidal scaling factor. This causes the phenomenon that you originally observed, in that there are periods of "high variance" in $x(t)$ and other periods where the variance is lower. The "high variance" periods are selected by demodulating by a sinusoid that is coherent with the one used to modulate it, which stands to reason.

— Jason R
fuente

Re: "This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver..." -- this is true only if the original signal is band-limited to frequencies less than the carrier frequency, right?

— nibot

Re: "El ruido se describe típicamente a través de su densidad espectral de potencia, o equivalentemente su función de autocorrelación". Este ruido cyclostationary (

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$ ) es espectralmente blanco y tiene un

δ (t)

$\delta(t)$ función de autocorrelación, al igual que el ruido Gaussiano regular (estacionario). Estoy buscando una descripción que encapsule su naturaleza cicloestacionaria.

— nibot

I edited the answer to talk about your two comments.

— Jason R

@Jason, good post. I am trying to understand however, the part where you talk about the cyclostationarity process. I am having a hard time understanding why 't' here is a function of R... - after the expectation operator, there is no 't' (time) variable anymore... only a function of tau.

— Spacey

@Jason nevermind, I just realized 't' must be there since the statistics change with time, (albeit cyclically), and so therefore the autocorr function will also be a function of time and delay... but what I do not understand in this case is how you got the delta*sin^2 ... does this warrant an actual question for me to post?

— Spacey