Filtro FIR con fase lineal, 4 tipos

Sé que hay 4 tipos de filtros FIR con fase lineal, es decir, retardo de grupo constante: (M = longitud de respuesta al impulso)

1. Respuesta de impulso simétrica, M = impar

2. Diablillo. resp. simétrico, M = par

3. Diablillo. resp. antisimétrico, M = impar

4. Diablillo. resp. antisimétrico, M = par

cada uno con sus rasgos ¿Cuál de estos tipos se usa más comúnmente en el filtro FIR con diseño de fase lineal y por qué? :)

Al elegir uno de estos 4 tipos de filtros de fase lineal, hay que considerar principalmente 3 cosas:

1. restricciones en los ceros de en y$H(z)$$z=1$$z=-1$

2. retraso de grupo entero / no entero

3. cambio de fase (aparte de la fase lineal)

Para los filtros de tipo I (número impar de derivaciones, simetría par) no hay restricciones en los ceros en y , el desplazamiento de fase es cero (aparte de la fase lineal) y el retraso del grupo es un número entero valor.$z=1$$z=-1$

Los filtros tipo II (número par de tomas, simetría par) siempre tienen un cero en (es decir, la mitad de la frecuencia de muestreo), tienen un desplazamiento de fase cero y tienen un retraso de grupo no entero.$z=-1$

Tipo III filtros (número impar de grifos, simetría impar) siempre tienen ceros en y (es decir, en y ), que tienen un desplazamiento de fase de 90 grados, y un grupo entero retrasar.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Los filtros de tipo IV (número par de derivaciones, simetría impar) siempre tienen un cero en , un desplazamiento de fase de 90 grados y un retraso de grupo no entero.$z=1$

Esto implica (entre otras cosas) lo siguiente:

• Los filtros tipo I son bastante universales, pero no se pueden usar siempre que sea necesario un cambio de fase de 90 grados, por ejemplo, para diferenciadores o transformadores Hilbert.

• Los filtros tipo II normalmente no se usarían para filtros de paso alto o de parada de banda, debido al cero en , es decir, en f = f s / 2 . Tampoco se pueden usar para aplicaciones donde es necesario un cambio de fase de 90 grados.$z=-1$$f=f_s/2$

• Los filtros tipo III no pueden usarse para filtros selectivos de frecuencia estándar porque en estos casos el desplazamiento de fase de 90 grados generalmente no es deseable. Para los transformadores de Hilbert, los filtros tipo III tienen una aproximación de magnitud relativamente mala a frecuencias muy bajas y muy altas debido a los ceros en y z = - 1 . Por otro lado, un transformador Hilbert tipo III se puede implementar de manera más eficiente que un transformador Hilbert tipo IV porque en este caso cualquier otra derivación es cero.$z=1$$z=-1$

• Los filtros tipo IV no pueden usarse para filtros selectivos de frecuencia estándar, por las mismas razones que los filtros tipo III. Son muy adecuados para diferenciadores y transformadores Hilbert, y su aproximación de magnitud suele ser mejor porque, a diferencia de los filtros tipo III, no tienen cero en .$z=-1$

• En algunas aplicaciones es deseable un retraso de grupo entero. En estos casos, se prefieren los filtros tipo I o tipo III.

Todos los filtros con respuesta de impulso antisimétrica tienen un cero en (es decir, frecuencia 0). Entonces, si necesita implementar un filtro de paso alto o un filtro derivado (o incluso un paso de banda), debe elegir los tipos 3 y 4.$z=1$

Del mismo modo, si su filtro es de tipo de paso bajo, se aplican los tipos 1 y 2.

Por lo tanto, esto depende del tipo de filtro que necesite diseñar, y no de cuál es más común.

Entonces, también hay una diferencia entre los tipos 1 y 3 vs. 2 y 4 en términos de respuesta de fase. Habrá un adicional entre los dos tipos. Incluso si no le importa el retraso real introducido, esta diferencia de media muestra puede ser importante en términos de convergencia en algunos casos de filtros de paso alto (la fase adicional puede hacer que su respuesta de frecuencia sea continua en θ = π , proporcionando así convergencia mucho más rápida y necesidad de menos coeficientes).$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

En términos de implementación, los 4 tipos se pueden implementar de manera eficiente sin repetir los mismos coeficientes dos veces.

Necesita, por supuesto, toda la línea de retardo de tamaño M. Pero en lugar de multiplicar cada una de las salidas de tap por su propio coeficiente, primero sumas (o restas) las dos salidas correspondientes y luego multiplicas solo una vez por el coeficiente.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Como ya hay dos respuestas muy buenas, daré algunos ejemplos muy básicos a partir de los cuales las propiedades dadas en las otras respuestas se pueden comparar. Las ubicaciones cero y las respuestas de fase están directamente disponibles.

simétrico, M = impar

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

simétrico, M = par

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

$h[N/2] = 0$

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt