Muestreo de la función Dirac

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Me gustaría hacer una pregunta teórica sobre la función de Dirac. La Transformada de Fourier de la función Dirac es el valor 1 (DC) para cada frecuencia. Si consideramos el teorema de muestreo, tenemos que encontrar una frecuencia máxima en la señal , de modo que podamos muestrear con . Pero como podemos ver en su Transformada de Fourier, la función Dirac contiene todas las frecuencias, por lo que no podemos encontrar una apropiada . Mi pregunta es, desde un punto de vista teórico, ¿se puede muestrear la función Dirac? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Editar: ¡Gracias por sus útiles respuestas chicos!

sampling

— George Tseres
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En tierra digital, la secuencia x [n] = (1, n = 0) (0, de lo contrario) realiza la mayoría de los trabajos que realiza la distribución dirac en el mundo analógico. Es la función base de la convolución, tiene una respuesta de frecuencia plana y es la respuesta al impulso de un "cable". Eso es realmente una cosa que es más fácil en digital

— Hilmar

personalmente, creo que una respuesta más concisa es "No, un impulso de dirac, , no puede muestrearse en porque no hay ningún valor que la función (o distribución) tome en ". $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ no hay una función dirac delta en el mundo físico, solo aproximaciones a ella. así que no hay nada que probar.

— robert bristow-johnson

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Se puede muestrear cualquier señal , independientemente de si el teorema de muestreo es válido o no. El teorema de muestreo le dice que, si la frecuencia de muestreo es suficiente, las muestras representan la señal original completa.

Las señales con discontinuidades o, peor aún, distribuciones como , no están limitadas por banda, por lo que la hipótesis del teorema de muestreo nunca se mantendrá. $\delta(t)$

También tenga en cuenta que la demostración habitual del teorema de muestreo implica multiplicar la señal por un tren de pulsos. Creo que esto descarta que las señales sean distribuciones por completo, porque los productos de las distribuciones no están bien definidos .

En la práctica, imagine muestrear en . Esta muestra tiene un valor indefinido. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
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"Se puede muestrear cualquier señal" - bueno, un algoritmo de muestreo se puede aplicar a cualquier señal , sí, pero en realidad llamar a este proceso "muestreo" podría, según el contexto, ya afirmar que espera poder reconstruir la señal desde resultado, es decir, que se cumplen las condiciones previas para el teorema de muestreo.

— Leftaroundabout

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$t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) f (t) d t = f (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

$\delta^2(t)$

\sum_{n} δ (t - n T) δ (t) = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Los impulsos de Dirac son una herramienta conveniente para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo, pero deben tratarse con cuidado porque los tipos comunes de procesamiento realizados en señales ordinarias (como el muestreo) pueden conducir a resultados indefinidos y sin sentido cuando se aplican a los impulsos de Dirac.

— Matt L.
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La información que lleva un Dirac es su ubicación e intensidad. Vetterli y col. muestra cómo es posible muestrear una señal dada por la suma de N diracs:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

$x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

Blu, Thierry y col. "Escaso muestreo de innovaciones de señal". Revista de procesamiento de señales, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Arrigo
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