¿Por qué agregar una versión de una señal con retraso de tiempo crea una señal filtrada?

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Me hicieron esta pregunta y no pude encontrar una respuesta en el acto que no involucrara el dominio de la frecuencia (básicamente que los coeficientes de la secuencia de retardo son la respuesta al impulso de un filtro FIR).

¿Alguien tiene alguna idea que haga que este proceso sea 'obvio'?

filters

— Tom Kealy
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Cuando retrasa una señal en segundos y la agrega a la señal en sí, está cancelando o anulando el componente de señal en la frecuencia $T$ Hz ya que ese componente de señal habrá cambiado de fase exactamente por: $\frac{1}{2T}$ $\pi$ Algo similar ocurre con múltiplos impares de

\begin{aligned} pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + pecado (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) pecado (π) \\ = pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - pecado (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$

Hz también. Para frecuencias cercanas, la cancelación no es tan completa y, por supuesto, incluso en múltiplos de

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz, el componente de señal se duplica en valor en lugar de cancelarse. Del mismo modo, si la señal retrasada se reduce en amplitud, la cancelación no se completa en

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz, etc.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Para resumir, la señal se está filtrando porque se están pasando diferentes frecuencias con diferentes ganancias.

Si desea la explicación del dominio de frecuencia, la función de transferencia del sistema es la transformada de Fourier de lo que la respuesta de Matt dio como respuesta al impulso, a saber. que es una función no constante de (de hecho, $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + Exp (- j 2 π F T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

varía sinusoidalmente de un máximo de

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$ a un mínimo de

como se discutió anteriormente), y entonces

. ¡Filtración!

0

$0$

no es un múltiplo escalar de

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
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Perdón por el retraso: ¿cómo iría desde aquí (que el filtrado es interferencia) a la necesidad de que el filtrado sea una convolución de las dos señales? Puedo verlo (algebraicamente) a partir de la suma de la fórmula de dos cosenos, pero no puedo intuir por qué.

— Tom Kealy

Explique a qué se refiere con "filtrar es interferencia". No entiendo esta idea en absoluto

— Dilip Sarwate

Bueno, acabamos de establecer (¿o sí?) Que agregar dos señales junto con diferentes fases es equivalente a filtrar con un retraso de tiempo porque las ondas interfieren. ¿Cómo iría (en el dominio del tiempo) desde allí a la convolución?

— Tom Kealy

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = X ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} X (t - tu) h (tu) re tu = \int_{- \infty}^{\infty} X (t - tu) [δ (tu) + δ (tu - T)] re tu

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

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$h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$ dónde

T

$T$ es el retraso entre las dos versiones de la señal.

— Matt L.
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Si la demora de tiempo de la versión agregada retrasada de una señal es exactamente un ciclo de cualquier contenido periódico, entonces la salida se incrementará aditivamente. Si el retraso es exactamente la mitad del período de cualquier componente sinusoidal, entonces ese componente interferirá destructivamente y, por lo tanto, se eliminará a cero de la salida. Si el retraso es cero, entonces la señal se duplicará. Para combinaciones de frecuencia / fase que están entre interferencia destructiva completa o adición completa, el resultado aditivo también estará en el medio.

Aumentar y disminuir la salida en función del contenido de frecuencia de la entrada es un filtrado típico.

— hotpaw2
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