Variación del ruido blanco gaussiano

Puede parecer una pregunta fácil y sin dudas lo es, pero estoy tratando de calcular la varianza del ruido gaussiano blanco sin ningún resultado.

La densidad espectral de potencia (PSD) del ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN) es mientras la autocorrelación es $\frac{N_0}{2}$ , entonces la varianza es infinita? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
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¿No es la potencia de ruido la variación de la tensión de ruido? También se podría preguntar sobre la varianza (o desviación estándar) de la potencia medida durante un intervalo de tiempo específico. Creo que el teorema del límite central describiría la relación entre la duración, el tiempo de medición y la varianza de los resultados.

Respuestas:

El ruido blanco gaussiano en el caso de tiempo continuo no es lo que se llama un proceso de segundo orden (lo que significa que es finito) y, por lo tanto, sí, la varianza es infinita. Afortunadamente, nunca podemos observar un proceso de ruido blanco (ya sea gaussiano o no) en la naturaleza; solo es observable a través de algún tipo de dispositivo, por ejemplo, un filtro lineal (estable a BIBO) con función de transferencia en cuyo caso lo que obtienes es un proceso Gaussiano estacionario con densidad espectral de potencia $E[X^2(t)]$ $H(f)$ y varianza finita $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{norte}_{0 0}}{2} El | H (F) {El |}^{2} re F .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Puede encontrar más de lo que probablemente quiera saber sobre el ruido blanco gaussiano en el Apéndice de esta nota de lectura mía.

— Dilip Sarwate
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Lo curioso de esto para mí es que el parámetro

que se usa como la "varianza" de la distribución gaussiana de

no es la varianza de la secuencia. Como dices, es porque

es infinito. ¡Gracias por la explicación clara!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK. Hay una diferencia entre las nociones de ruido gaussiano blanco para el tiempo discreto y el tiempo continuo. Si un proceso de tiempo discreto se considera como muestras de un proceso de tiempo continuo, entonces, teniendo en cuenta que el muestreador es un dispositivo con un ancho de banda finito, obtenemos una secuencia de variables aleatorias gaussianas independientes de varianza común

que es lo que tienes en tu respuesta Si su

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

donde

es el AWGN del OP, entonces

Y [norte] = \int_{(norte - 1) T}^{norte T} X (t) re t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

, no

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

como lo tiene (excepto si

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Leí tu interesante apéndice. Pero usted dice "Sin embargo, uno no debe inferir que las variables aleatorias en el proceso WGN son en sí mismas variables aleatorias gaussianas". No entendí completamente esto. Si las variables aleatorias no son gaussianas (y esto me parece razonable ya que tienen una varianza infinita), ¿por qué el proceso se llama gaussiano?

— Surfer en el otoño

@Surferonthefall Intente escribir la función de densidad de probabilidad

de las supuestas variables aleatorias gaussianas en el proceso de ruido gaussiano blanco

. La función de densidad tiene el valor

para todas las

. ¿Cómo se puede ver

como una variable aleatoria gaussiana? Como dije repetidamente en el documento que leyó, uno no debe mirar demasiado de cerca las variables aleatorias en un proceso de ruido blanco

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

. El proceso esmíticoy se define por lo que produce a la salida del filtro lineal, no por nada más.

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

— Dilip Sarwate

Lo sentimos, eso debería haber leído ".... tome el límite como

" no como

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

— Dilip Sarwate

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{X X} [τ] & = & mi [X [t] X [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} mi [X [t]^{2}], yo F τ = 0 0 \\ 0 0, o t h mi r w yo s mi \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— Peter K.
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Sí, lo es: a menos que tenga en cuenta que el poder infinito es difícil de conseguir en estos tiempos posteriores al big bang. En realidad, todos los procesos de ruido blanco terminan en una implementación física que tiene una capacitancia y, por lo tanto, limita el ancho de banda efectivo. Considere los argumentos (razonables) que conducen al ruido Johnson R: producirían energía infinita; excepto que siempre hay límites de ancho de banda en la implementación. Una situación similar se aplica en el extremo opuesto: ruido 1 / F. Sí, algunos procesos se ajustan muy bien al ruido 1 / f durante mucho tiempo; Los he medido. Pero al final estás limitado por las leyes físicas.

— rrogers
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