Explicación de PSD (densidad espectral de potencia)

Estoy tratando de entender cómo se calcula el PSD. He buscado en algunos de mis libros de texto de Ingeniería de la Comunicación, pero fue en vano. También he buscado en línea. Wikipedia parece tener la mejor explicación; sin embargo, me pierdo en la parte donde deciden hacer la CDF (función de distribución acumulativa) y luego, por alguna razón, decido relacionar eso con la función de autocorrelación.

Supongo que lo que no entiendo es, ¿cómo la autocorrelación tiene algo que ver con el cálculo de la PSD? Pensé que la PSD simple sería la Transformada de Fourier de (donde es la potencia de la señal con respecto al tiempo). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— usuario968243
fuente

¿Cómo se define

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Realmente no lo defino como algo. Es solo una señal de energía. Supongo que si tuviera que definirlo, sería

... Supongo que el punto es que el PSD no es

y tiene algo que ver con la autocorrelación y no conseguir lo ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Realmente no se puede definir un poder así para señales arbitrarias. No hay conceptos de voltaje y corriente. La potencia en este caso se define como la potencia de una onda (electromagnética si lo desea). Entonces es

, y es un número único, no una cantidad variable en el tiempo.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Lea sobre el teorema de Wiener-Khinchin . Se niega a comprender lo que Phonon le señala que el límite que está calculando es una constante y, por lo tanto, su transformación de Fourier es solo un impulso en

en el dominio de la frecuencia. Si eso flota su bote, hágalo, pero no es la densidad espectral de potencia como todos los demás lo entienden.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

He leído sobre ese teorema ... Y entiendo cómo se relaciona la transformada de Fourier con la autocorrelación. Y no me niego a entender lo que dijo Phonon ... Entiendo exactamente lo que dijo @Phonon. Lo que no entiendo es por qué se usa la fórmula de autocorrelación y tampoco entiendo por qué se usa la forma de transformación de Fourier (para obtener el PSD, puede tomar la transformación de Fourier, tomar su magnitud, cuadrarla, etc.) ... No tengo idea de por qué hacerlo daría un PSD y no he podido encontrar una derivación decente.

— user968243

Respuestas:

Tienes razón, PSD tiene que ver con el cálculo de la Transformada de Fourier de la potencia de la señal y adivina qué ..... hace. Pero primero veamos la relación matemática entre el PSD y la función de autocorrelación.

Anotaciones:
- Transformada de Fourier: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Tiempo) Función de autocorrelación: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Probemos que la Transformada de Fourier de la función de Auto-Correlación es, de hecho, igual a la densidad de Potencia Espectral de nuestra señal de señal estocástica . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) {mi}^{- j ω τ} re τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} X (t) X (t + τ) {mi}^{- j ω τ} re t re τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} X (t) \underset{F [X (t + τ)] = X (ω) {mi}^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} X (t + τ) {mi}^{- j ω τ} re τ}} re t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} X (t) {mi}^{j ω t} re t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = El | X (ω) {El |}^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Que significa todo esto? Nota: esta explicación es un poco "hacky". Pero aquí va

$\mathcal{F}[x(t)]$

¿Qué sucede si tomas el valor esperado de la transformada de Fourier entonces? Esto no funcionaria. Tomemos una señal media cero, por ejemplo.

mi {F [X (t)]} = F [mi {X (t)}] = 0 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

En cambio, ¿qué pasa si tomas la transformada de Fourier del cuadrado de la señal?

mi {F [X^{2} (t)]} = F [\underset{AV. Poder de la señal}{\underset{⏟}{mi {X^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

La función de autocorrelación es esencialmente la $P(t)$ a lo que te referías

Referencias

[1] Comunicaciones 1, PL. Dragotti, Imperial College London

[2] Ruido blanco y estimación, F. Tobar [Informe no publicado]

— ssk08
fuente

¡Fantástica explicación! Una pequeña pregunta de cálculo: ¿puede intercambiar el

d t

$dt$ y el

d τ

$d\tau$ dentro de las integrales dobles, solo porque sus límites son ambos de:

\infty

$\infty$ a +

\infty

$\infty$ ?

— Spacey

si eso es correcto

— ssk08

De acuerdo, creo que lo entiendo. Puedo ver cómo la transformación de Fourier está relacionada con la autocorrelación. Sin embargo, no entiendo realmente cuál es el problema con la transformación de Fourier de

x (t)

$x(t)$ o

x^{2} (t)

$x^2(t)$ . Realmente no veo por qué es necesario tomar el valor esperado (sé que lo promedia, pero no sé por qué es necesario) y realmente no entiendo lo que quieres decir con 'para cada realización de lo aleatorio proceso, tendrás diferentes expresiones para '. Si pudieras elaborar un poco, ¡sería genial! ¡Gracias por tu tiempo!

— user968243

@ user968243 En cuanto a la parte "para cada realización", piense de esta manera: su señal original, digamos longitud

N

$N$ , para el que desea encontrar el PSD, es un vector aleatorio. Entonces es un vector con

N

$N$ componentes. Ahora, dado que este es un vector aleatorio, cada vez que 'tira el dado', obtiene diferentes valores para sus componentes. Una posibilidad podría ser [3 4 1 9 ...]. Otra posibilidad podría ser [2.9 4.2 1.1 9.02 ...]. Esto es lo que quiere decir cuando dice: "Por cada realización de un proceso aleatorio, (su vector), obtiene diferentes expresiones para" (la transformación de Fourier. ¿Tiene sentido?)

— Spacey

@Mohammad lo resumió perfectamente.

— ssk08

Buena derivación, pero creo que puedes hacerlo aún más fácilmente.

Correlación automática $r(t) = x(t)*x(-t)$ , es la convolución de la señal con su tiempo invertido.

La convolución en el dominio del tiempo es la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

El cambio de tiempo en el dominio del tiempo es "conjugado complejo" en el dominio de la frecuencia.

De ahí obtenemos

R (ω) = F {r (t)} = F {X (t)} F {X (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = El | X (ω) {El |}^{2} = PAG S re

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
fuente

¿No es la autocorrelación la convolución de la señal con su complejo conjugado, auto-invertido?

— Jim Clay

Creo que está asumiendo que la señal es real.

— ssk08

@ Jim y ssk08: ambos tienen razón, por supuesto. Gracias por limpiar las ecuaciones.

— Hilmar

Explicación de PSD (densidad espectral de potencia)

La función de autocorrelación es esencialmente la PAG( t )PAG(t)P(t) a lo que te referías

La función de autocorrelación es esencialmente la $P(t)$ a lo que te referías