¿Cuál es el significado exacto del sistema inestable en DSP?

En sistemas físicos entiendo cuál es el significado de estabilidad o inestabilidad. Un amplificador operacional, por ejemplo, si se trabaja en retroalimentación positiva se saturará o comenzará a oscilar (es decir, no tendrá ningún estado estable). Eso está claro para mí.

Pero no puedo entender a qué nos referimos exactamente cuando decimos que un filtro IIR (o cualquier otro sistema digital), por ejemplo, puede volverse muy inestable.

• ¿Qué sucede exactamente dentro del Procesador de señal digital, qué le sucede físicamente a la salida?
• ¿Qué queremos decir exactamente con sistema inestable en este contexto?

$y[n] = x[n] + y[n-1]$. Si calculamos la respuesta escalonada, es decir$x[n] = u[n]$, obtenemos y [0] = 1, y [1] = 2, y [2] = 3 ... La salida crece infinitamente a pesar de que la entrada es una señal perfectamente bien comportada, limitada por 1.

Un filtro IIR inestable actuará como un circuito de amplificador operacional inestable, excepto que la entrada y la salida son flujos de números en lugar de voltajes.

Por lo tanto, la salida puede oscilar, atascarse en un valor mínimo / máximo o, en general, simplemente se puede bloquear. Al igual que un circuito de amplificador operacional inestable, podría funcionar para algunas entradas y oscilar para otras.

Casi cualquier tipo de sistema en el que intervienen comentarios puede ser inestable si está diseñado incorrectamente. Esto se debe a que parte de la salida se retroalimenta a la entrada (¡por lo tanto, es retroalimentación!), Por lo que un sistema inestable seguirá realimentando más y más hasta que se vuelva loco.

Los filtros IIR no tienen nada de especial frente a los filtros de amplificador operacional: ambos tienen retroalimentación y pueden ser estables o inestables dependiendo de los polos, que representan la parte de retroalimentación de una función de transferencia.

Esa es realmente la diferencia entre un filtro digital FIR y un filtro digital IIR: los filtros FIR no tienen retroalimentación, por lo que nunca pueden ser inestables (la compensación aquí es que un filtro FIR equivalente generalmente requiere una tonelada más de cómputo). Básicamente son pura retroalimentación, en lugar de tener retroalimentación (y probablemente también alguna retroalimentación) como un IIR.

Un filtro IIR tiene polos, lo que significa que tiene retroalimentación de la salida del sistema que factoriza en sus cálculos de salida. Los polos de un sistema de tiempo discreto deben tener una magnitud absoluta menor que 1 para que el sistema sea estable. Esto equivale a que los polos caigan dentro de un círculo unitario en el plano complejo (generalmente se refiere al plano z asociado con la función de transferencia de dominio z del sistema).

La situación análoga para los sistemas del "mundo real" (sistemas que pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, por lo tanto pueden representarse mediante una función de transferencia en el dominio de Laplace o dominio S), es que los polos de la función de transferencia del sistema deben estar en el lado izquierdo del avión S.

Para sistemas de tiempo discreto, si los polos están fuera del círculo unitario, los valores representados internamente y la salida del sistema pueden crecer sin límite. Si los polos se encuentran en el círculo unitario, los valores internos del sistema y la salida pueden oscilar.

Para un sistema estable, se espera que los valores internos y la salida del sistema sean una función de la entrada del sistema. Este no será el caso si el sistema es oscilatorio o tiene valores que exceden el tamaño de los números utilizados para representar los valores internos (desbordamiento del registro).

Si los polos están demasiado cerca del círculo unitario, el sistema puede ser marginalmente estable. En tales casos, el sistema puede comportarse para un conjunto limitado de condiciones de entrada, pero puede quedar incontrolado para otras condiciones. La razón de esto es que los sistemas DSP son inherentemente no lineales. Los valores internos a menudo se representan usando aritmética de punto fijo y siempre se almacenan en registros de tamaño finito, por lo que si se exceden los valores máximos que se pueden representar, el sistema experimenta una no linealidad. Otra característica de los sistemas DSP es que las señales se cuantifican. La cuantización de la señal agrega efectos no lineales de bajo nivel al sistema. El error de cuantización a menudo se modela como ruido, pero puede correlacionarse con los valores del sistema y dar lugar a oscilaciones llamadas ciclos límite.

Se debe tener cuidado para evitar saturar (alcanzar valores máximos absolutos) en representaciones de punto fijo. Generalmente se considera mejor, si se exceden los valores absolutos, que la representación se mantenga en el valor máximo en lugar de causar una inversión de signo del valor. Esto se llama limitación de saturación y hace un mejor trabajo al preservar el comportamiento del sistema que permite las inversiones de signos.

En general, un sistema DSP inestable se saturará a un valor fijo u oscilará de manera caótica debido a no bibliotecas internas.

Cuando un sistema es inestable, la salida del sistema puede ser infinita aunque la entrada al sistema sea finita. Esto causa una serie de problemas prácticos. Por ejemplo, un controlador de brazo de robot que es inestable puede hacer que el robot se mueva peligrosamente. Además, los sistemas que son inestables a menudo incurren en una cierta cantidad de daño físico, que puede ser costoso. Sin embargo, muchos sistemas son inherentemente inestables: un avión de combate, por ejemplo, o un cohete en el despegue, son ejemplos de sistemas naturalmente inestables. Aunque podemos diseñar controladores que estabilicen el sistema, primero es importante comprender qué es la estabilidad, cómo se determina y por qué es importante.

Se dice que un sistema es inestable si su salida es infinita para una señal de entrada finita aplicada.