¿Por qué los números complejos se representan como a + ib y no pueden ser como (a, b)?

Estoy confundido porque ¿por qué necesitamos representar los números complejos con el eje y imaginario si simplemente podemos representarlos como (x, y)?

He leído que la Multiplicación por i es una rotación en sentido antihorario de un cuarto de círculo sobre el eje y.

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Multiplicar 1 por i da i. Multiplicar i , por i una vez más, hace otro cuarto de círculo y da -1. Entonces, multiplicar por -1 significa una rotación de un semicírculo. Ese es el significado de i * i = -1.

Entonces, ¿qué se supone que significa eso?

Supongamos que estoy resolviendo una ecuación y terminé con una respuesta como 3i, ¿eso significa que me he movido del eje x al eje y por medio círculo en sentido antihorario? No pude poder visualizar esto correctamente

signal-analysis

— Sufiyan Ghori
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A menudo ve números complejos referenciados como un punto en el plano complejo . No está claro cuál es su pregunta; pareces entender la interpretación geométrica del plano complejo.

(x, y)

$(x,y)$

— Jason R

La representación (x, y) funciona para vectores, que son similares a números complejos; sin embargo, te estás perdiendo todo lo "imaginario". Los números complejos abren una nueva dimensión al análisis porque admiten la raíz cuadrada de los números negativos. Como tales números complejos son animales verdaderamente diferentes a los números reales y no pueden representarse simplemente como vectores bidimensionales de números reales.

— usuario2718

Respuestas:

Sí, en el procesamiento de señales, los números complejos generalmente se visualizan en el plano complejo, como usted ha dicho.

La razón es que si los pones en un avión, entonces puedes medir dos cantidades importantes:

1) Magnitud , que es $\sqrt{x^2 + y^2}$

2) Ángulo de fase entre su punto y el origen, dado por . $\tan^{-1} \frac{y}{x}$

Si simplemente los dejara como un punto, ( , ), no podría concretar y tener un marco de trabajo para esas cantidades. $x$ $y$

Usted puede preguntar, ¿por qué esas cantidades, a su vez, son importantes? En el procesamiento de señales, por supuesto, estamos tratando con señales, y físicamente, estamos tratando con señales 'reales'. Sin embargo, aunque es un buen truco, una oscilación constante de una cantidad en la vida 'real' (como una onda cosenoidal) es equivalente a dos fasores, que giran en direcciones opuestas en el plano complejo y se suman. Con este marco, podemos ver que los ángulos de fase se 'cancelan' entre sí, y que las magnitudes de su resultante nos dan la magnitud de nuestra señal 'real'.

De hecho, esto es lo que captura una de las fórmulas de Euler. Es decir:

\cos (2 π f t) = \frac{e^{j 2 π f t} + e^{- j 2 π f t}}{2}

$\cos(2\pi ft) = \frac{e^{j2\pi ft} + e^{-j2\pi ft}}{2}$

Puede ver aquí cómo podemos relacionar fácilmente un concepto del mundo 'real', como una onda cosenoidal oscilante, con el mundo 'complejo' de fasores, tal como existen y giran en el plano complejo.

Esta es una de las piedras angulares de DSP.

— Spacey
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Para una definición de números complejos, la simbología "a + ib" y "(a, b)" son representaciones equivalentes siempre que las operaciones en esos símbolos sigan completamente el conjunto de reglas para la aritmética compleja (incluida la multiplicación que implica una rotación).

El significado es que la aritmética compleja que usa tales reglas aritméticas en realidad simplifica un montón de teoremas y cálculos (incluidas soluciones de raíces polinómicas, convergencia de series infinitas, etc.). El comportamiento de pares de cantidades reales en el mundo real a veces se puede aproximar estrechamente mediante modelos que usan la aritmética bajo tales reglas, y luego llamando a una de las cantidades "imaginaria" para que coincida con la simbología computacional utilizada en el modelo.

Considérelo un "truco" matemático que es demasiado útil para no usarlo. por ejemplo, Cardano y otros matemáticos italianos de la era del Renacimiento intentaron resolver ecuaciones cúbicas sin el uso de números complejos o imaginarios, y sus soluciones fueron mucho más largas debido a eso.

— hotpaw2
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+1. hotpaw2, ¿tiene un ejemplo de los matemáticos de Cardano y de la era del Renacimiento que intentan resolver ecuaciones cúbicas sin números complejos y tienen sus largas respuestas? Si conoce algún ejemplo, eso motivaría mucho a los estudiantes por la importancia de los números complejos en DSP.

— Spacey

Hay varios libros sobre la historia de las matemáticas que incluyen estas historias en detalle. IIRC, "Un cuento imaginario" de Nahin es uno de muchos.

— hotpaw2

El libro que sugirió está disponible aquí :) leyendo ahora ... scribd.com/doc/102614774/An-Imaginary-Tale-the-Story-of-i

— Ghori

@Mohammad IIRC, este libro tiene un capítulo completo sobre el conflicto de Cardano / Tartaglia que rodea la solución del cúbico.

— Datageist

@datageist ¡Ah! Fantástico, ¡solo ordenado! :-)

— Spacey

Una forma de pensar en números complejos es ver como un "vector unitario" en la dirección del eje imaginario. $i$

De hecho, el uso de números complejos como vectores unitarios más tarde se convirtió en la base de las cuaterniones , que se usaron para representar cantidades de vectores antes del desarrollo del análisis moderno de vectores por Gibbs / Heaviside .

— Robert L.
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