¿Cómo puede un filtro tener un retraso de grupo cero?

Si pones un paquete de onda a través de la banda de paso de un filtro de paso bajo de primer orden, se retrasará por el retraso del grupo del filtro y seguirá siendo la misma amplitud, ¿verdad?

Si coloca el mismo paquete de onda a través de un filtro de paso alto complementario de primer orden con la misma frecuencia de corte, la curva de retardo de grupo es la misma, por lo que el retardo del paquete será el mismo, pero la ganancia es mucho menor, por lo que será ser retrasado y atenuado a la negligencia.

Dado que la salida del filtro de paso alto es muy pequeña, si suma las salidas de estos dos filtros (como en un crossover de audio), esperaría que sea significativamente diferente de la salida del filtro de paso bajo: señal retrasada grande + muy pequeña señal retrasada = señal retrasada grande.

Sin embargo, si suma las respuestas del filtro, la amplitud es de 0 dB en todas partes, y la fase es de 0 en todas partes, y por lo tanto el retraso del grupo se convierte en 0, lo que significaría que el paquete de onda sale sin demora y sin cambios. No entiendo cómo esto puede ser posible. ¿Los filtros no siempre generan demoras? ¿Cómo puede un filtro (que también tiene un retraso de grupo positivo) deshacer el retraso causado por el otro canal, especialmente cuando esto sucede en la banda de detención?

¿Qué parte estoy malentendiendo aquí?

Los tipos de crossover más conocidos con fase lineal son los crossovers no invertidos de primer orden, ... El crossover de primer orden es la fase mínima cuando sus salidas se suman normalmente; Tiene una trama de fase plana a 0 °. - El diseño de crossovers activos

y

Aquí el resultado de sumar las salidas juntas produce un desplazamiento de fase de 0 °, es decir que la amplitud sumada y el desplazamiento de fase de un crossover de primer orden es equivalente a un trozo de cable. - Linkwitz-Riley Crossovers: Una cartilla: Redes de cruce de primer orden

Las pruebas en pulsos reales muestran cómo el paso bajo (azul) retrasa el pulso, como se esperaba, y cómo el paso alto (verde) puede combinarse para producir el pulso original (rojo), pero cómo se produce el pulso de paso alto antes del original si el El filtro de paso alto es causal y tiene un retraso de grupo positivo? La intuición me está fallando.

Se hace la demostración de que la salida de paso alto no es tan insignificante como me imaginaba, y el retardo es más despreciable de lo que imaginaba, y mientras se mueve la frecuencia portadora alrededor, estas dos propiedades cambian de una manera proporcional (retardo más pequeño requiere una menor producción de amplitud de paso alto para corregirlo). Pero todavía no lo entiendo realmente.

Hay un par de aspectos interesantes de "reconstrucción a la unidad". Primero, hay dos formas de combinar dos filtros: paralelo y en serie. Para una topología paralela SIEMPRE es posible encontrar un filtro complementario para que los pares se sumen a la unidad. Es bastante fácil, en realidad. Simplemente haz $\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. En el dominio del tiempo, eso significa que la respuesta al impulso del filtro complementario es simplemente el negativo de la respuesta al impulso original con 1 agregado a la primera muestra. Así que todas las cosas "resonantes" se cancelan. Ahora la forma de este filtro complementario no siempre es lo que uno esperaría. Para un paso bajo de primer orden, en realidad es un paso alto de primer orden, pero para los filtros de orden superior tiende a tener oscilaciones superiores / inferiores en la región de corte. Sin embargo, siempre existe como un filtro causal estable.

La serie (o cascada) de "reconstrucción a la unidad" es un poco más complicada. Obviamente, los filtros tendrían que ser inversos entre sí, es decir, . En general, esto se puede hacer para cualquier filtro de fase mínima. La inversa de un filtro de fase mínima es también fase mínima y ambas son causales y estables.$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Esto nos deja con la pregunta de cómo interpretar el retraso grupal en estos casos. El caso en cascada es en realidad el más interesante. Dado que los filtros son inversos entre sí, la fase y, por lo tanto, el retraso del grupo, de uno es el negativo del otro. Entonces, en las frecuencias en que un filtro tiene un retraso de grupo positivo, el otro tiene un retraso de grupo negativo. Un ejemplo fácil sería un estante bajo con + 6dB de ganancia y un estante bajo con 6dB de corte. Por lo tanto, los retrasos grupales negativos son muy reales y ciertamente no constituyen una violación de la causalidad. En la práctica, estos aparecen en áreas del filtro que son bastante "no planas", por lo que la interpretación tradicional de "retraso de la envolvente" no se aplica del todo, ya que también hay una buena cantidad de distorsión de amplitud.

Si busca "retraso grupal negativo" en Google, puede encontrar algunos artículos de IEEE que han abordado el tema.

No hay una aplicación incorrecta del retraso del grupo ni una violación de la física o la causalidad en este problema. La definición de retraso de grupo como la derivada negativa de la fase con respecto a la frecuencia aún se mantiene, ya que cada filtro por sí solo tiene un retraso de tiempo positivo que no es constante sobre la frecuencia. Los detalles se revelan en lo que sucede cuando los filtros se conectan en paralelo o en serie.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$$A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Considere el primer caso a la luz de la pregunta del OP. En el cruce sobre cada filtro tiene una magnitud y fase dada como:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Y a la frecuencia más alta cada filtro tiene una magnitud y fase dada como:

$\rightarrow \infty$$1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$$0e^{-j\pi}$

$-\pi$$\infty$

Lo que sucede en el medio requiere una relación matemática especial entre los dos filtros para que la combinación paralela sume una fase cero (y, por lo tanto, un retraso de grupo cero, esencialmente haciendo que la combinación paralela también sea transparente). Considere el ejemplo del OP donde podemos ver claramente que hay una relación de cuadratura en la fase de los dos filtros. Así tenemos:

Para que este resultado siempre tenga fase cero para todas las frecuencias, se debe mantener la siguiente igualdad:

O alternativamente descrito como:

$\phi_1$$A_1 = cos(\phi_1)$$A_2 = sin(\phi_1)$$\phi_1$

En cuanto a una posible intuición con la trama final que mostró el OP y su pregunta, considere que la derivada es una función de paso alto: si toma la derivada del pulso rojo, obtendrá el pulso verde como resultado. No podría comenzar a obtener este resultado hasta que el pulso rojo esté presente, por lo que no hay violación de la causalidad.

Pensé que esta era una pregunta bastante interesante, así que intentaré responderla, aunque sea 5 años tarde.

Creo que ha descubierto una manera de aplicar incorrectamente una de las formas de medir el retraso del grupo, es decir, calcularlo como la derivada negativa de la fase. En esta situación, este método no es apropiado.

En esta situación, una forma más apropiada de medir el retraso del grupo es usar una entrada de onda sinusoidal y medir el retraso entre la entrada y la salida sumada. Por supuesto, para obtener una imagen completa, deberá realizar un barrido de frecuencia, lo cual es una molestia, pero precisa.

Si hace esto, creo que todos podemos estar de acuerdo en que medirá un retraso de grupo distinto de cero.

El retraso del grupo está relacionado con el grupo, es decir, la señal modulada, por lo tanto, la medición del retraso del grupo debe hacerse utilizando el grupo (señal modulada). El grupo que ingresa al filtro debe ser el mismo con respecto a su forma en la salida del filtro. La forma significa, por ejemplo, el espectro del grupo. Las mediciones realizadas en una sola frecuencia no tienen información sobre el retraso del grupo.