¿Qué se entiende por "muestreo estocástico"?

¿Qué se entiende exactamente por "muestreo estocástico" y es profundamente diferente del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon ? ¿Está relacionado con el muestreo de un proceso estocástico?

sampling

— Phonon
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El muestreo estocástico no tiene nada que ver con el muestreo de formas de onda estocásticas. Simplemente significa que, en lugar de muestrear a intervalos regulares, la forma de onda se muestrea al azar.

Recuerde que en un esquema de muestreo según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, una señal continua en se muestrea como , donde es el intervalo de muestreo y es la frecuencia de muestreo. Si la frecuencia máxima en la señal es , entonces debe ser tal que $x(t)$ $\mathbb{R}$ $x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$ $T$ $f_s=1/T$ $f_{max}$ $f_s$ para evitar aliasing. Para facilitar la comparación con el muestreo estocástico más adelante en la respuesta, permítanme redefinir el muestreo en una forma ligeramente diferente de lo habitual como $f_s\geq 2f_{max}$

dondees la función delta de Dirac ysolo se muestrea en el intervalo.

\begin{aligned} s (t) & = \sum_{n = 0}^{f_{s} τ - 1} δ (t - n T) \\ x [n] & = x (t) \cdot s (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

δ (t)

$\delta(t)$

x (t)

$x(t)$

[0, τ]

$[0,\tau]$

Si realmente lo piensa, el muestreo regular es bastante limitante en la práctica. El alias surge en varios lugares, y probablemente un efecto bien conocido y visible son los patrones de Moiré que se pueden reproducir en casa al tomar una foto de los patrones regulares que se muestran en un televisor (ejemplos a continuación).

ingrese la descripción de la imagen aquí

Sin embargo, esto siempre es un problema con las cámaras, ¡pero nunca con sus ojos si tuviera que ver el patrón directamente! La razón es porque los fotorreceptores en su retina no se presentan en un patrón regular a diferencia del CCD en una cámara. La idea detrás del muestreo estocástico (no necesariamente la idea que llevó a su desarrollo) es muy similar al diseño no regular de fotorreceptores en el ojo. Es una técnica anti-alias que funciona al romper la regularidad en el muestreo.

En el muestreo estocástico, cada punto de la señal tiene una probabilidad distinta de cero de ser muestreada (a diferencia del muestreo regular donde ciertas secciones nunca serán muestreadas). Se puede implementar un esquema de muestreo estocástico uniforme simple en el mismo intervalo que $[0,\tau]$

\begin{aligned} s (t) & = \sum_{n = 0}^{f_{s} τ - 1} δ (t - t_{n}), t_{n} \sim U (0, τ) \\ x [n] & = x (t) \cdot s (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

$\mathcal{U}(0,\tau)$ $[0,\tau]$

Al tomar muestras estocásticamente, no hay una "frecuencia de Nyquist" de la que hablar, por lo que el alias ya no será un problema como antes. Sin embargo, esto tiene un precio. Lo que gana en anti-aliasing, lo pierde por el ruido en el sistema. El muestreo estocástico introduce ruido de alta frecuencia, aunque para varias aplicaciones (especialmente en imágenes), el alias es una molestia mucho más fuerte que el ruido (p. Ej., Puede ver fácilmente los patrones de Moiré en las imágenes anteriores, pero en menor medida el ruido moteado )

Hasta donde sé, los esquemas de muestreo estocástico casi siempre se usan en el muestreo espacial (en procesamiento de imágenes, gráficos por computadora, procesamiento de matriz, etc.) y el muestreo en el dominio del tiempo sigue siendo predominantemente regular (no estoy seguro de si las personas se molestan con muestreo estocástico en el dominio del tiempo). Existen varios esquemas de muestreo estocástico diferentes, como el muestreo de Poisson, el muestreo de jitter, etc., que puede consultar si está interesado. Para una introducción general y de bajo perfil al tema, vea

MAZ Dippé y EH Wold, "Antialiasing Through Stochastic Sampling" , SIGGRAPH, vol. 19, núm. 5, págs. 69-78, 1985.

— Lorem Ipsum
fuente

Hay algunas aplicaciones de esquemas de muestreo estocástico en el dominio del tiempo; Se pueden utilizar intervalos de muestreo aleatorios en la detección comprimida , aunque la técnica no es de aplicación universal.

— Jason R

@JasonR Gracias. Soy consciente de la aplicación en la detección comprimida, pero funciona solo debido a la condición de escasez, por lo que no lo mencioné. (además, los ejemplos que he visto en la detección comprimida también son principalmente con imágenes / muestreo espacial, pero ese podría ser mi sesgo de lectura selectiva)

— Lorem Ipsum

podría mejorarse un ejemplo de una imagen que se extrapola del muestreo estocástico.

— CyberMen