Problema con la definición de linealidad

De las matemáticas de la escuela secundaria sabemos que y = mx + c es una ecuación lineal. Sin embargo, en DSP el sistema lineal debe satisfacer las propiedades de Aditividad que y = mx + c no cumple debido a + c. Entonces, ¿la definición de linealidad es diferente en DSP y matemáticas? Si es así, ¿por qué? Gracias.

linear-systems

— Zahid Hasan
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Sí, en cierto sentido las definiciones son diferentes. Te daré dos puntos de vista, el primero respaldará tu aguda observación, el otro proporcionará evidencia de lo contrario. Estos dos no entran en conflicto entre sí, es una cuestión de semántica. Si el segundo te confunde, te quedas con el primero. Preludio concluido, aquí va.

Definición del problema 1 : $y = mx + c$ medio $f(x)=mx+c$

Aquí tomamos el punto de vista habitual en el que $y$ se supone que es el resultado de algunas manipulaciones en $x$ . Llamamos a eso algo una función, y podemos escribir la misma expresión con un poco más de elegancia matemática: $f(x)=mx+c$ . Ahora está claro que $f(x)$ es en cierto sentido el resultado de alguna manipulación matemática a la que $x$ es la entrada .

Actualicemos los criterios de linealidad. Una función $g(x)$ es lineal si cumple las dos condiciones siguientes:

$g(a+b) = g(a)+g(b)$ para todos $a$ y $b$
$g(cx) = cg(x)$ para todas las constantes $c$

Claramente, nuestra función favorita $f(x)$ no satisface ninguna de estas propiedades. Entonces sí, desde esta perspectiva $f(x)$ No es una función lineal. Lo más parecido a "lineal" que podemos llamar es " afín ".

QED

Ahora puede prepararse para la parte 2 de la respuesta.

Definición del problema 2 : $y = mx + c$ medio $L(x,y)=y-mx$

Vamos a dar un paso a la vez. Suponga que está tratando de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. ¿Cómo lo haces? Una forma es escribir las ecuaciones de la siguiente manera:

\begin{aligned} y & = m_{1} x + c_{1} \\ y & = m_{2} x + c_{2} \end{aligned}

$\begin{align} y &= m_1x + c_1\\y &= m_2x + c_2 \end{align}$

Seguramente así es como lo hemos estado haciendo desde séptimo grado. Ahora todo lo que tiene que hacer es resolverlo por sustitución o de la forma que prefiera. Pero, ¿qué haces cuando tienes un sistema de ecuaciones de más de dos variables? ¿Lo escribirás así?

\begin{aligned} y & = a_{1} x + c_{1} z + d_{1} \\ y & = a_{2} x + c_{2} z + d_{2} \\ y & = a_{3} x + c_{3} z + d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} y &= a_1x + c_1z + d_1\\y &= a_2x + c_2z + d_2\\y &= a_3x + c_3z + d_3 \end{align}$

Eso realmente no se ve bien. Y por una muy buena razón. Hay muchas formas de interpretar las funciones de cualquier número de variables, y no es solo la semántica lo que es diferente. Para desviarse por un momento, tome la ecuación $x^2+y^2=r^2$ . Casi cualquiera (visitando este foro) lo identificará inmediatamente como una ecuación de círculo. ¡Pero recuerda la definición de una función !

Si lo interpretamos como $f(x) = \pm \sqrt{r^2-x^2}$ obtenemos dos soluciones: la mitad superior de un círculo y la mitad inferior de un círculo. Todo el círculo no puede ser una solución porque viola la propiedad que en las funciones, para cada entrada hay como máximo una salida única.

Si por otro lado lo interpretamos como $f(x,y)=r^2$ , recuperamos todo el círculo como solución, porque lo estamos viendo en función de dos variables iguales a una constante. En otras palabras, a pesar de que estamos escritos con la misma expresión $x^2+y^2=r^2$ , debemos definir de qué estamos hablando. De lo contrario, este problema no está bien definido. En una interpretación es una función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , en otra interpretación es una función $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ . ¿Recuerdas todo ese murmullo sobre dominios y rangos en la escuela secundaria? Sí, esto es exactamente lo que es. Ahora, volvamos a nuestro tema misterioso de funciones lineales.

Con suerte, a estas alturas ya tienes tu ajá! momento. Si no, aquí está nuestro final recto. ¿Recuerdas ese sistema de tres ecuaciones que no se veía bien? En primer lugar, tenga en cuenta que se ve afín, porque además de las variables $x$ y $z$ hay constantes $d$ también. Ahora, una mejor manera de escribir este sistema de ecuaciones es así:

\begin{aligned} - a_{1} x + y + - c_{1} z & = d_{1} \\ - a_{2} x + y + - c_{2} z & = d_{2} \\ - a_{3} x + y + - c_{3} z & = d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} -a_1x + y + -c_1z &= d_1 \\ -a_2x + y + -c_2z &= d_2 \\ -a_3x + y + -c_3z &= d_3\end{align}$

Ahora estamos llegando a alguna parte. Como puede ver, podemos escribirlo en forma de matriz de la siguiente manera:

[\begin{matrix} - a_{1} & 1 & - c_{1} \\ - a_{2} & 1 & - c_{2} \\ - a_{3} & 1 & - c_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} -a_1 &1 &-c_1 \\-a_2 &1 &-c_2 \\-a_3 &1 &-c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$

Claramente, este es un sistema lineal de ecuaciones. ¿Dónde está la trampa? Bueno, al principio parecía un sistema de tres funciones de la forma $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ , y ahora lo estamos representando como una sola función del formulario $f:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ .

Para aclarar, esta es una función única que toma un vector en $\mathbb{R}^3$ y devuelve otro vector en $\mathbb{R}^3$ . Llamemos a esta función $L(x,y,z)$ Precisamente $L:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ . Te dejaré comprobar que esta función es lineal . Concretamente, si $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \delta_3 \end{bmatrix}$ , entonces

$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\alpha \\ y+\beta \\ z+\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 + \delta_1 \\ d_2 + \delta_2 \\ d_3 + \delta_3 \end{bmatrix}$ y
$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kd_1 \\ kd_2 \\ kd_3 \end{bmatrix}$

En otras palabras (y sí, ¡esta es la verdadera razón por la que los matemáticos siguen constantemente presentando nuevas notaciones concisas!) $\vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ ( $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y vectores tridimensionales de números reales). Entonces

$L(\vec{u}+\vec{v}) = L(\vec{u})+L(\vec{v})$
$L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})$

¡Lineal! QED

En conclusión, hemos explorado misteriosas sutilezas de las matemáticas de las funciones y, en particular, la importancia de definir bien los problemas. La función $f(x) = mx + c$ es obviamente no lineal (o más precisamente afín), y la función $g(x,y) = y - mx$ es lineal

Vuelve por cosas más interesantes. Nos gusta dar respuestas retorcidas a preguntas simples.

— Phonon
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Una razón más simple para llamar

y = m x + c

$y=mx+c$ una función lineal es que su gráfico es una línea recta no necesariamente a través del origen, y al menos en la geometría analítica elemental que la mayoría de los lectores se habrán encontrado en la escuela secundaria y escucharon por primera vez el nombre, es demasiado complicado tener nombres diferentes para líneas rectas que pasan por el origen y las que no.

— Dilip Sarwate

Wikipedia dice esto como polinomios lineales ... Me pregunto por qué los libros de DSP no incluyen esta información.

— Zahid Hasan

@Phonon - Excelente presentación. Esta es la segunda respuesta de intercambio de pila que me gustaría mantener en mis archivos para referencia futura.

— user2718

@BruceZenone Over on math.SE, mantienen una lista de preguntas de generalizaciones de preguntas comunes en su meta sitio que tiene una colección de las mejores respuestas que se guardan para referencia futura. Tal vez se podría agregar algo similar a dsp.SE (Sugerencia, sugerencia, moderador Phonon!) Y ayudaría a responder preguntas como ¿Qué constituye una pregunta frecuente en el meta sitio dsp?

— Dilip Sarwate