¿Por qué la autocorrelación alcanza su pico en cero?

Sé que el cambio a cero en la función de autocorrelación es igual a su energía, sin embargo, me gustaría entender por qué el pico está en cero.

¿Estás buscando una prueba formal o la intuición detrás de esto? En el último caso: "Nada puede ser más similar a una función que sí mismo". La autocorrelación en el retraso mide la similitud entre una función f y la misma función desplazada por τ . Obsérvese que si f es periódica, f desplazado por cualquier múltiplo entero de τ y f coinciden, por lo que la autocorrelación tiene una forma de peine - con picos en los múltiplos enteros del período con la misma altura que el pico central.$\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

La función de autocorrelación de una señal aperiódica de energía finita de tiempo discreto viene dada por

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ para señales reales y señales complejas respectivamente. Restringiéndonos a señales reales para facilitar la exposición, consideremos la suma y $x[m]x[m-n]$ . Para el retraso fijo $n$ una $m$ dada , $x[m]x[m-n]$ típicamente tendrá un valor positivo o negativo. Si sucede que para un retraso particular $n$ , $x[m]x[m-n]$ no es negativo para todos$m$ , entonces todos los términos en la suma se sumarán (sin cancelación) y, por lo tanto , se garantiza que$R_x[n]$ tendrá un valor positivo. De hecho, la suma será mayor si todos los picos en$x[m-n]$ alinean con los picos en$x[m]$ y los valles en$x[m-n]$ alinean con los valles en$x[m]$ . Por ejemplo, si$x$ es una función sinc sobremuestreada, por ejemplo, $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ con picos en$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$y valles en $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$, luego$R_x[n]$tendrá máximosen$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (y por la misma razón, tendrámínimosen$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ cuando los picos se alineen con los valles). Elmundialmáximo de$R_x[n]$ es, obviamente, en el retardo $n = 0$ cuando el pico más alto de$x[m]$ y$x[m-n]$ coinciden. De hecho, esta conclusión se aplica no solo a esta señal sinc sino acualquierseñal. En el rezago $n = 0$ , tenemos $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ y tenemos la garantía de que no solo todos los picos y valles están alineados entre sí (sin importar dónde ocurren en $x[m]$ ) pero también que los picos más altos y los valles más profundos están alineados apropiadamente.

$u$$v$

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ $\lambda$$u = \lambda v$$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$$\lambda > 0$$\lambda < 0$$\mathcal E_u$$\mathcal E_v$ $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n]$$n$ $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ $x[m] = \lambda x[m-n]$$m$ $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ $n=0$$u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$$\lambda = 1$$u[m] = \lambda v[m]$$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, todos los demás valores de autocorrelación son más pequeños que este pico.

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$x[m]$$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

utilizando

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

uno puede demostrar fácilmente que

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

$R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$