¿Por qué la autocorrelación alcanza su pico en cero?

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Sé que el cambio a cero en la función de autocorrelación es igual a su energía, sin embargo, me gustaría entender por qué el pico está en cero.

autocorrelation

— itamarb
fuente

Aquí hay una gran explicación, ¡disfrútala! personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/…

— ampholyte

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¿Estás buscando una prueba formal o la intuición detrás de esto? En el último caso: "Nada puede ser más similar a una función que sí mismo". La autocorrelación en el retraso mide la similitud entre una función y la misma función desplazada por . Obsérvese que si es periódica, desplazado por cualquier múltiplo entero de y coinciden, por lo que la autocorrelación tiene una forma de peine - con picos en los múltiplos enteros del período con la misma altura que el pico central. $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— pichenettes
fuente

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@JasonR Una señal de energía finita (que es lo que pregunta el OP ya que dice que la función de autocorrelación en el retraso cero es la energía) no puede ser periódica, por lo que la segunda mitad de esta respuesta no es aplicable a la pregunta del OP, pero se aplica a la función de autocorrelación periódica que se define para señales periódicas. En mi respuesta , he tratado de distinguir entre estos dos casos, y también he señalado que las funciones de autocorrelación de las señales periódicas pueden tener valles periódicos tan profundos como los picos periódicos.

— Dilip Sarwate

@Dilip: Como siempre, buenos puntos.

— Jason R

no es una prueba, ni siquiera cerca de una prueba. solo palabras que funcionan solo porque sabes la respuesta.

— John Smith

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La función de autocorrelación de una señal aperiódica de energía finita de tiempo discreto viene dada por

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$ para señales reales y señales complejas respectivamente. Restringiéndonos a señales reales para facilitar la exposición, consideremos la suma y

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ . Para el retraso fijo

n

$n$ una

m

$m$ dada ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ típicamente tendrá un valor positivo o negativo. Si sucede que para un retraso particular

n

$n$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ no es negativo para todos

m

$m$ , entonces todos los términos en la suma se sumarán (sin cancelación) y, por lo tanto

se garantiza que

R_{x} [n]

$R_x[n]$ tendrá un valor positivo. De hecho, la suma será mayor si todos los picos en

x [m - n]

$x[m-n]$ alinean con los picos en

x [m]

$x[m]$ y los valles en

x [m - n]

$x[m-n]$ alinean con los valles en

x [m]

$x[m]$ . Por ejemplo, si

x

$x$ es una función sinc sobremuestreada, por ejemplo,

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$ con picos en

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ y valles en

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$ , luego

R_{x} [n]

$R_x[n]$ tendrá máximosen

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (y por la misma razón, tendrámínimosen

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ cuando los picos se alineen con los valles). Elmundialmáximo de

R_{x} [n]

$R_x[n]$ es, obviamente, en el retardo

n = 0

$n = 0$ cuando el pico más alto de

x [m]

$x[m]$ y

x [m - n]

$x[m-n]$ coinciden. De hecho, esta conclusión se aplica no solo a esta señal sinc sino acualquierseñal. En el rezago

n = 0

$n = 0$ , tenemos

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$ y tenemos la garantía de que no solo todos los picos y valles están alineados entre sí (sin importar dónde ocurren en

x [m]

$x[m]$ ) pero también que los picos más altos y los valles más profundos están alineados apropiadamente.

$u$ $v$

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$

λ

$\lambda$

u = λ v

$u = \lambda v$

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$

λ > 0

$\lambda > 0$

λ < 0

$\lambda < 0$

E_{u}

$\mathcal E_u$

E_{v}

$\mathcal E_v$

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$

n

$n$

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$

m

$m$

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$

n = 0

$n=0$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$

λ = 1

$\lambda = 1$

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$

m

$m$

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n=0$ , todos los demás valores de autocorrelación son más pequeños que este pico.

$x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— Dilip Sarwate
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utilizando

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

uno puede demostrar fácilmente que

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

$R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— robert bristow-johnson
fuente

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La única respuesta correcta aquí. muchas gracias, tuve problemas para derivarlo yo mismo.

— John Smith