¿Cómo funciona la "región de convergencia" de -transform?

Soy un novato en DSP y tengo pocas dudas sobre la y su región de convergencia (ROC).$\mathcal Z$

Sé lo que es una -transform. Pero tengo problemas para entender el ROC. Primero de todo, tienen cierta confusión con y$\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$ . Me atrapan fácilmente al intercambiar estos términos. Sé que el ROC define la región donde existe la -transform. De la web y mis libros dice que:$\mathcal Z$

Si es una secuencia de duración finita, entonces el ROC es el plano completo , excepto posiblemente o . Una secuencia de duración finita es una secuencia que no es cero en un intervalo finito$x[n]$$z$$z = 0$$\lvert z\rvert = \infty$$n_1 \le n \le n_2$

Y luego dice:

Cuando $n_2 > 0$ habrá un término $z^{-1}$ y, por lo tanto, el ROC no incluirá $z=0$ . Cuando $n_1 < 0$ , la suma será infinita y, por lo tanto, el ROC no incluirá $\lvert z\rvert=\infty$ .

¡Aquí es donde me atasco! Lo que intentan decir en la línea anterior " Cuando habrá un término y, por lo tanto, el ROC no incluirá$n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ " ¿Qué quieren decir con ? ¿Están sustituyendo$z=0$$z$ como , si es así, en qué ecuación?$0$

¿Cómo calculamos la región de convergencia para una secuencia infinita?

Para ser completamente honesto, pensé que la teoría detrás de la transformación Z también era un poco opaca en la universidad. En retrospectiva, tomar un curso de análisis complejo lo habría dejado más claro. Y tampoco me gustan las convenciones de notación que parecen ser utilizadas para estas cosas. Estrictamente hablando, la convención habitual aquí es que

• denota una secuencia de tiempo discreto $x[n]$
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • los corchetes denotan un argumento discreto
• denota una función transformada de valor continuo $X(z)$
  • (es un número complejo)$z\in\mathbb{C}$
  • los paréntesis denotan una función que acepta un parámetro de valor continuo
  • la mayúscula denota una versión transformada de alguna otra función / secuencia x (se usa una notación similar para las transformadas de Fourier: F ( j ω ) ↔ f ( t $X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

¿Qué quieren decir con z = 0? ¿Están sustituyendo z como 0, si es así, en qué ecuación?

Significan, simplemente conecte en su definición habitual de la transformación Z.$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Generalmente (más precisamente, cuando para alguna n ≠ 0 ), esta suma divergerá (hasta el infinito) para alguna z compleja . Por ejemplo, digamos x [ 0 ] = 1 , x [ 1 ] = 1 , y x [ n ] = 0 para n < 0 y n > 1 . Entonces X ( z ) = 1 + $x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$ . El ROC no incluyez=0, para lim z → 0 X(z)=$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Cuando su texto dice " Cuando habrá un término z - 1 y, por lo tanto, el ROC no incluirá z = $n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ", lo que quieren decir con eso es que cuando es distinto de cero para algunos n > 0 , Es inevitable que la transformación z incluya un término z - n , que diverge al infinito en z = 0 . Eso es todo.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

¿Cómo calculamos la región de convergencia para una secuencia infinita?

Muchas matemáticas. ¡Decir ah!

En primer lugar, la forma en que se hace esto es obtener una formulación algebraica para la secuencia en cuestión, conectarla a la definición de transformación Z y usar las herramientas disponibles del análisis de series geométricas (y series de potencia complejas) para determinar dónde esta Z -transforma converge / diverge. En la práctica, determinar si converge es la pregunta más importante a responder, porque eso determina la estabilidad, y si puede obtener una respuesta de frecuencia del sistema, etc. Pero la causalidad también puede importar, dependiendo de lo que esté haciendo.$|z|=1$