Transformación de Hilbert de una función seno con argumento cuadrático

Estoy buscando la transformación de Hilbert de la siguiente función:

H {pecado (UNA t^{2} + si t + \frac{π}{4 4})}

$\begin{equation} \mathcal{H}\bigg\{ \sin\Big(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}\Big) \bigg\} \end{equation}$

donde y son constantes con y . $A$ $B$ $A<0$ $B>0$

Es bien sabido que , que se puede mostrar fácilmente reescribiendo la transformación de Hilbert como una convolución con y usando la representación espectral como se muestra a continuación: $\mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = -\cos(Bt)$ $1/{\pi t}$

H {pecado (si t)} = pecado (si t) * \frac{1}{π t}

$\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \sin(Bt) *\frac{1}{\pi t} \end{equation}$

donde denota el operador de convolución. Considere el siguiente par de Fourier: $*$

F {\frac{1}{π t}} = - j s sol norte (ω)

$\begin{equation} \mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\} = -\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega) \end{equation}$

Con esto, el problema se puede resolver en el espectro de la siguiente manera:

F {pecado (si t) * \frac{1}{π t}} = \frac{π}{j} (δ (ω - si) - δ (ω + si)) (- j s sol norte (ω)) = - π (δ (ω - si) + δ (ω + si))

$\begin{equation} \mathcal{F}\big\{\sin(Bt) *\frac{1}{\pi t}\big\} = \frac{\pi}{\mathrm{j}} \big(\delta(\omega-B) - \delta(\omega+B)\big) \; \big(-\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega)\big)\\ % = -\pi\, \big(\delta(\omega-B) + \delta(\omega+B)\big) \end{equation}$

Aquí, los dos pulsos delta de Dirac se encuentran en la frecuencia angular y y, por lo tanto, la función de signo se aplica directamente. Por lo tanto, obtenemos $+B$ $-B$

H {\sin (B t)} = F^{- 1} {- π (δ (ω - si) + δ (ω + si))} = - \cos (si t)

$\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \mathcal{F}^{-1}\Big\{ -\pi\, \big(\delta(\omega-B) + \delta(\omega+B)\big) \Big\} = -\cos(Bt) \end{equation}$

Sin embargo, el mismo principio no se puede aplicar a , ya que su función espectral son dos funciones gaussianas complejas superpuestas también desplazadas a la frecuencia angular y : $x(t) = \sin(At^2 + Bt + \pi/4)$ $+B$ $-B$

F {X (t)} = \frac{\sqrt{- \frac{π}{UNA}}}{2 j} (Exp (- j \frac{1}{4 4 UNA} (ω - si)^{2}) - Exp (+ j \frac{1}{4 4 UNA} (ω + si)^{2})) Si UNA < 0 0

$\begin{equation} \mathcal{F}\{x(t)\} = \frac{\sqrt{-\frac{\pi}{A}}}{2 \mathrm{j}} \bigg( \exp\Big(-\mathrm{j}\frac{1}{4A}(\omega-B)^2\Big) - \exp\Big(+\mathrm{j}\frac{1}{4A}(\omega+B)^2\Big) \bigg) \quad \text{if} \quad A<0 \end{equation}$

Cada función gaussiana compleja se define para todas las frecuencias y, por lo tanto, la aplicación de la función de signo no simplifica ni resuelve el problema. También he intentado resolver directamente la integral de transformación de Hilbert sin éxito. Agradezco cualquier ayuda.

hilbert-transform

— andresnm
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En este caso, w (t) = 2 * A * t + B. ¿Podría usar esa información para ayudarlo?

— Ben

Calcular esto directamente parece difícil.

Mi argumentación es la siguiente. Para una señal , la llamada señal analítica se puede obtener por La señal analítica corresponde esencialmente al contenido espectral de en las frecuencias positivas. $s(t)$ $s_{\mathrm{an}}(t)$

s_{una norte} (t) = s (t) + j H {s (t)}, dónde S_{una norte} (ω) = 0 0 \forall ω < 0 0

$\begin{equation} s_{\mathrm{an}}(t) = s(t)+\mathrm{j} \mathcal{H}\{s(t)\}\,\,, \text{where}\,S_{\mathrm{an}}(\omega) = 0\,\forall\, \omega < 0 \end{equation}$

s (t)

$s(t)$

Para su primer ejemplo de una sinusoide simple, también puede llegar al resultado de la transformación de Hilbert si considera la señal analítica. La sinusoide real, se compone de los componentes de frecuencia . La señal analítica debería ser el componente en , que obviamente es un exponencial complejo, produciendo el resultado para la transformación de Hilbert. $\pm B$ $B$

Ahora para su señal de chirp , la situación es algo más complicada. Si pensamos en un "curso de frecuencia instantánea" virtual de la señal, es Ahora esto es algo extraño, correspondiente a dos componentes que cambian linealmente de pendiente opuesta, cruzando el punto de frecuencia cero en . $x(t)$

ω_{X} (t) = \pm (2 UNA t + si) .

$\begin{equation} \omega_{x}(t) = \pm (2At+B)\,. \end{equation}$

ω_{x} (t = - \frac{B}{2 A}) = 0

$\omega_{x}(t=-\frac{B}{2A})=0$

Ahora la señal analítica tendría que representar la parte de este curso de frecuencia por encima de la línea cero del plano (podría agregar algunas gráficas más adelante). ¡Esto significa que primero tendría que tener una pendiente negativa, descender a la frecuencia cero y luego cambiar abruptamente a una pendiente positiva! $\omega-t$

Esto significa que la señal analítica debería verse como y donde las son constantes con .

X_{una norte} (t) = C_{1} Exp (- j (UNA t^{2} + si t + \frac{π}{4 4})) \forall t < - \frac{si}{2 UNA}

$\begin{equation} x_{\mathrm{an}}(t) = c_1 \exp{(-\mathrm{j} (At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}))}\,\forall\,t < -\frac{B}{2A} \end{equation}$

X_{una norte} (t) = C_{2} Exp (j (UNA t^{2} + si t + \frac{π}{4 4})) \forall t \geq - \frac{si}{2 UNA},

$\begin{equation} x_{\mathrm{an}}(t) = c_2 \exp{(\mathrm{j} (At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}))}\,\forall\,t \geq -\frac{B}{2A}\,\,, \end{equation}$

c

$c$

| c | = 1

$\vert c \vert = 1$

Ahora podemos determinar la transformada de Hilbert de observando y verificando en la ecuación la señal analítica. Esto produce y $x(t)$

H {X (t)} = \cos (UNA t^{2} + si t + \frac{π}{4 4}) \forall t < - \frac{si}{2 UNA}, con C_{1} = - j,

$\begin{equation} \mathcal{H}\{x(t)\} = \cos{(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4})}\,\forall\,t < -\frac{B}{2A}\,,\,\text{with}\,c_1 = -\mathrm{j}\,, \end{equation}$

H {X (t)} = - \cos (UNA t^{2} + si t + \frac{π}{4 4}) \forall t \geq - \frac{si}{2 UNA}, con C_{2} = j .

$\begin{equation} \mathcal{H}\{x(t)\} = -\cos{(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4})}\,\forall\,t \geq -\frac{B}{2A}\,,\,\text{with}\,c_2 = \mathrm{j}\,. \end{equation}$

Probablemente también se pueda escribir esto como una ecuación con la función de valor absoluto. En cualquier caso, el punto es que la transformación de Hilbert parece contener una discontinuidad, que es lo que hace que esto sea particularmente confuso de calcular, sospecho.

Sé que es algo "práctico", pero creo que la idea / resultado general es correcta, ¡así que espero que esto ayude!

— mateC
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