Gradiente de variación total de la magnitud de la función compleja para denoising

Digamos que tengo una función compleja (por ejemplo, una imagen de resonancia magnética) que tiene una magnitud constante casi por piezas, pero una fase no constante. $f^*$

Si tengo un problema de optimización para encontrar y configurar una función objetivo con un término de variación total (por ejemplo, para detección de ruido o compresión), generalmente tiene la siguiente forma: $f^*$

o b j_{1} (f) = \dots + TV (f)

$obj_1(f) = \ldots + \text{TV}(f)$

Sin embargo, dado que supongo que tiene una magnitud constante por partes, creo que podría ser mejor usar: $f$

o b j_{2} (f) = \dots + TV (| f |)

$obj_2(f) = \ldots + \text{TV}(|f|)$

Sin embargo, para un solucionador basado en gradiente, uno debería conocer el gradiente de obj2. El gradiente para es: . ¿Cuál es el gradiente de ? $obj_1(f)$ $\text{TV}'\left(TV(f)\right)$ $obj_2(f)$

Actualizar:

Intuitivamente, supondría algo como lo siguiente (dado que la fase no tiene influencia en , deje la fase "intacta"): $obj_2$

{televisión}^{'} (T V (El | F El |)) * {mi}^{yo \arg (F)}

$\text{TV}'\left(TV(|f|)\right)* e^{i \arg(f)}$

Sin embargo, mi conocimiento en análisis complejo es muy limitado y no estoy seguro de si esto tiene sentido.

— Stiefel
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Supongo que todo se reduce a la derivada compleja de la función de magnitud, que no está definida. ¿Hay algún trabajo alrededor?

— Stiefel

Esto está fuera de mi zona de confort, pero si tiene una magnitud constante, noser constante y, por lo tanto, su variación total sea cero?

f

$f$

| f |

$|f|$

— Jason R

Lo siento, arreglé la pregunta. Se supone que la f * óptima tiene una magnitud "constante por partes". Los algoritmos de eliminación de ruido generalmente son iterativos, y el f intermedio aún no es constante por partes: necesitamos el gradiente para hacer que f sea constante por partes.

— Stiefel

Para una pregunta de análisis complejo tan especializado, es posible que tenga más éxito publicando en matemáticas .

— Jason R

@Stiefel Esto puede no aplicarse a su situación en absoluto, pero ¿ha pensado en mover la resonancia magnética al dominio espacial y aplicar allí la minimización de la variación total? ¿Podría decirnos un poco más sobre el contexto en el que está utilizando la minimización de TV para IRM?

— Eric

El problema con $\left|f\right|$ es que, dado que no es analítico, no se aplica la definición estándar de derivada compleja. Una solución es usar derivados de Wirtinger:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives

Una cuenta detallada del cálculo de Wirtinger para problemas de procesamiento de señal es

http://arxiv.org/abs/0906.4835

Otra opción (probablemente más simple) es tratar la imagen compleja como una imagen de dos canales (real, imag) y usar la definición de derivada para campos vectoriales. Este documento tiene una explicación muy clara sobre cómo hacer esto:

Lee, H.-C .; Cok, DR; "Detección de límites en un campo vectorial" (IEEE Transactions on Signal Processing, vol.39, no.5, pp.1181-1194, mayo de 1991)

— Arrigo
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