Condiciones iniciales para los sistemas descritos en el espacio de estado: ¿LTI o no?

Supongamos que tenemos algún sistema dado por

$$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= Ax(t) +Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t)+Du(t) \end{aligned}$$

dónde $x(t)$ son las variables de estado, $y(t)$ es la salida y $u(t)$es la entrada Todas las matrices son constantes. La misma pregunta se aplica al caso discreto

$$\begin{aligned} x[n+1] &= Ax[n] +Bu[n] \\ y[n] &= Cx[n]+Du[n] \end{aligned}$$

Se sabe que un sistema con condiciones iniciales distintas de cero no puede ser LTI . Sin embargo, si$x(0)\neq0$, No veo por qué el sistema anterior no sería LTI como se expresa. Hasta donde sé, si un sistema se expresa de esa manera, tiene que ser lineal y, como las matrices no dependen de$t$, también debería ser invariante en el tiempo.

Entonces tenemos un sistema que tiene que ser LTI ya que se expresa en espacio de estado con matrices constantes, pero no puede ser LTI porque tiene $x(0)\neq0$.

No puedo ver el error en el razonamiento que me lleva a esta absurda contradicción. ¿Alguien puede señalarlo?

Soy solo un estudiante universitario, por lo que tal vez mi respuesta sea un poco ingenua, pero según Oppenheim, no son solo las condiciones iniciales distintas de cero las que hacen que una ecuación diferencial / diferencia de coeficiente constante lineal no sea LTI. Una ecuación diferencial / diferencia con condiciones iniciales de cero fijo tampoco puede ser LTI. Para una ecuación diferencial / diferencia de coeficiente constante lineal, describa un sistema LTI causal, las condiciones iniciales tienen que satisfacer la condición de reposo inicial: es decir, la salida no se vuelve cero hasta que la entrada se vuelve cero.

Con respecto a su pregunta (la representación del espacio de estado), observe que la entrada al sistema es $u(t)$ y la salida es $y(t)$. La propiedad "entrada cero / salida cero" de los sistemas lineales solo se aplica a

$$y(t) = C x(t) + Du(t)$$ Si $x(t) = 0$, si solo consideramos $u(t)$ ser la entrada al sistema, pero me parece que la noción de linealidad puede extenderse a las representaciones del espacio de estados para dar cuenta del vector de estado $x(t)$. En cualquier caso, las condiciones iniciales a las que se refiere Oppenheim cuando se habla de ecuaciones diferenciales (condiciones en la salida$y(t)$ y sus derivados) no son las mismas condiciones iniciales a las que hizo referencia en su pregunta (condiciones en el vector de estado $x(t)$) De nuevo, no sé si estoy en lo correcto, y siempre me he confundido, pero quizás esto podría ayudar.

Si nos fijamos en el Capítulo 5 de:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

que se titula "Propiedades de los modelos de espacio de estado LTI", la ecuación 5.33 no parece tener un problema con las condiciones iniciales, o cualquier otro libro (estoy corregido, hay un libro) que conozco. A menos que Oppenheim se haya tocado con locura, me inclino a aceptar su caracterización de que las condiciones iniciales no descalifican a un sistema LTI como "no lineal" por su uso del término "entrada cero lineal".

Al comienzo de las notas, (y en Oppenheim y Shaefer 3a edición) se proporciona un sistema LTI como:

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[ n -k]$$ que no requiere $h[n]$ ser causal o estable. $x[n]$ no tiene que satisfacer $x[n]=0 \;\text{for} \; n <0$ .

Hay un énfasis en el texto que uno necesita considerar toda la historia de $x[n]$, no solo por $n \ge 0$.

dejar

$$x[n] = \hat{x}[n]+\tilde{x}[n]$$ dónde $$\hat{x}[n] = \begin{cases} x[n]\; \text{for}\; n<0 \; \text{and}\\ 0 \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

y

$$\tilde{x}[n] = \begin{cases}0\; \text{for} \; n<0 \; \text{and}\; \\ x[n] \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$ por linealidad.

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k] + \sum_{k=0}^{\infty} \tilde{x}[k] h[ n -k]$$ Si $y[n]$ es causal $$y[n]=\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \tilde{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

El punto esencial es que las condiciones iniciales explican la entrada previa. Dónde$n=0$ se hace referencia para $x[n]$es arbitrario, que es otra manifestación de la invariancia del tiempo. Las condiciones iniciales no son un valor arbitrario que molesta al sistema. Si$x[n] = 0$ para $n <0$ Las condiciones iniciales son cero.

Probemos algo más. Dejar$z[n]=\tilde{x}[n+1]$ (avance por una muestra) y con $\tilde{x}[n]$, el sistema era LTI sin controversia. Pero ahora,

$$y[n]=\underbrace{ z[-1] h[n]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} z[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$ y ahora tenemos una condición inicial. ¿Un desplazamiento hacia adelante de 1 muestra haría que un sistema LTI no sea lineal?

La falacia lógica en la raíz de la pregunta es usar la definición de linealidad de estado cero y aplicarla al caso de entrada cero.