¿Cuál es el significado físico de las frecuencias negativas?

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Este ha sido uno de los agujeros en mi bloque de comprensión de DSP de queso cheddar, entonces, ¿cuál es la interpretación física de tener una frecuencia negativa?

Si tiene un tono físico en alguna frecuencia y es DFT, obtendrá un resultado en las frecuencias positivas y negativas: ¿por qué y cómo ocurre esto? Qué significa eso?

Edición: 18 de octubre de 2011. He proporcionado mi propia respuesta, pero amplié la pregunta para incluir las raíces de por qué DEBEN existir las frecuencias negativas.

frequency

— Spacey
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electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— endolith

Gracias endolito, ¿sería posible vincular esta página con ellos? He proporcionado una respuesta a mi propia pregunta y me gustaría compartirla con ese grupo también. Parece que no tengo acceso a esa área ...

— Spacey

Después de leer todos los significados físicos de las frecuencias negativas, me confundí más. Soy químico Yo trato con moléculas. Las frecuencias negativas indican la inestabilidad en las moléculas o, en otras palabras, los puntos de silla de montar en la superficie de energía potencial. Una molécula estable no debe tener frecuencias imaginarias, un estado de transición debe tener uno (punto de silla de 1er orden). ¿Por qué no una molécula estable debería tener frecuencias negativas (frecuencias imaginarias) después de todo, es complementaria a la frecuencia real?

— Prabin Rai

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Las frecuencias negativas y las frecuencias imaginarias de @PrabinRai son muy diferentes. Una frecuencia imaginaria convierte un exponencial complejo oscilante y acotado en un exponencial ordinario que aumenta (o disminuye) exponencialmente. Una frecuencia negativa, como indican las respuestas a continuación, se refiere a la "mano" de la oscilación. Todavía son funciones limitadas, así que imagino que aún sería "estable".

— TC Proctor

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La frecuencia negativa no tiene mucho sentido para las sinusoides, pero la transformada de Fourier no divide una señal en sinusoides, sino que la divide en exponenciales complejos (también llamados "sinusoides complejos" o " cisoides s"):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Estas son en realidad espirales, girando en el plano complejo:

tiempo exponencial complejo que muestra ejes reales e imaginarios

( Fuente: Richard Lyons )

Las espirales pueden ser zurdas o diestras (girando en sentido horario o antihorario), de ahí proviene el concepto de frecuencia negativa. También puede considerarlo como el ángulo de fase que avanza o retrocede en el tiempo.

En el caso de las señales reales, siempre hay dos exponenciales complejos de igual amplitud, que giran en direcciones opuestas, de modo que sus partes reales se combinan y las partes imaginarias se cancelan, dejando como resultado una sinusoide real. Es por eso que el espectro de una onda sinusoidal siempre tiene 2 picos, una frecuencia positiva y una negativa. Dependiendo de la fase de las dos espirales, podrían cancelarse, dejando una onda sinusoidal puramente real, o una onda cosenoidal real, o una onda sinusoidal puramente imaginaria, etc.

Los componentes de frecuencia negativa y positiva son necesarios para producir la señal real, pero si ya sabe que es una señal real, el otro lado del espectro no proporciona ninguna información adicional, por lo que a menudo se agita a mano y se ignora. Para el caso general de señales complejas, debe conocer ambos lados del espectro de frecuencia.

— endolito
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Me gusta esa descripción; Creo que el diagrama lo explica bien.

— Jason R

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@endolith Nice post - He visto esto del libro de Lytw por cierto. Me parece que el punto de "inicio" real para todas las oscilaciones está en el dominio complejo, y resulta que solo podemos medir oscilaciones realistas que ocurren en el eje real. Entonces, cuando se mide una onda física, se devuelve al dominio complejo, que es donde vemos sus componentes en sentido horario y antihorario. Lo cual es curioso, porque las señales 'reales' terminan siendo 'el doble de complicado' como señales complejas ...

— Spacey

@Mohammad: No sé si los exponenciales complejos son más "fundamentales" que las sinusoides en general, aunque lo son en el caso de la transformada de Fourier. Puede producir exponenciales complejos agregando sinusoides y sinusoides agregando exponenciales complejos. Todos son solo funciones. Los sinusoides generalmente se derivan de círculos, que pueden ser algo en el plano complejo, o simplemente la altura de un punto en una rueda giratoria.

— Endolith

@endolith Derecha. Me he expandido sobre eso en mi publicación. De cualquier manera, gran publicación (y gracias por el enlace cruzado). Tener un voto a favor! :-)

— Spacey

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@Goldname Los cisoides de frecuencia positiva y negativa se suman. Las partes reales están en fase y se suman, las partes imaginarias son de polaridad opuesta y se cancelan

— endolito

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Digamos que tenías una rueca. ¿Cómo describirías qué tan rápido está girando? Probablemente diría que está girando a Xrevoluciones por minuto (rpm). Ahora, ¿cómo transmites en qué dirección está girando con este número? Es la misma Xrpm si gira en sentido horario o antihorario. Así que te rascas la cabeza y dices, bueno, esta es una idea inteligente: usaré la convención de +Xpara indicar que está girando en sentido horario y -Xen sentido antihorario. Voila! ¡Has inventado revoluciones negativas!

La frecuencia negativa no es diferente del ejemplo simple anterior. Se puede ver una explicación matemática simple de cómo aparece la frecuencia negativa a partir de las transformadas de Fourier de sinusoides de tono puro.

$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

y por lo tanto, su par de transformada de Fourier (nuevamente, ignorando multiplicadores constantes):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

$\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Lorem Ipsum
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gracias por la respuesta, entiendo las matemáticas, y esto es algo básico que sé, pero no nos da información sobre el significado físico ... Sin embargo, siguiendo su ejemplo de giro, está bien, entonces el signo de la frecuencia transmite el ' dirección 'del cambio de fase. Es justo, pero aún así, ¿por qué una sinusoide tiene 'dos' frecuencias, una positiva y otra negativa? ¿Se debe a que la transformación de Fourier es 'independiente del tiempo' y, por lo tanto, puede mirar una sinusoide real en la dirección real del tiempo, obtener su + ve y mirar la misma onda hacia atrás en el tiempo y obtener su -ve? Gracias.

— Spacey

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No estoy seguro de que haya una respuesta concreta a su confusión. El contenido en frecuencias negativas es una consecuencia de la definición de la transformada de Fourier y no tiene un significado físico directamente. La transformación de Fourier no es inherentemente una operación "física", por lo que no tiene que ser así. La frecuencia de una sinusoide es la derivada temporal de la fase, nada más. Las frecuencias negativas son solo un artefacto matemático en el que algunas personas se obsesionan, similar al uso de partes "imaginarias" de números complejos. Son herramientas de análisis utilizadas para modelar, que no necesariamente existen en el mundo físico.

— Jason R

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@Mohammad Estoy de acuerdo con Jason aquí. En algún momento, tratar de construir una explicación "física" por el bien solo puede empeorar las cosas. No estoy seguro de poder explicar mejor ...

— Lorem Ipsum

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Una posible explicación es que desde el punto de la transformada de Fourier, una sinusoide real es "realmente" la suma de dos sinusoides complejos que giran en direcciones opuestas. Usando la analogía de la rueda: imagine dos ruedas en el origen de un sistema de coordenadas, girando a la misma velocidad pero en direcciones opuestas, con un alfiler en cada una que comienza en (1,0). Ahora agregue las coordenadas de ambos pines: y siempre será 0, y x será una sinusoide real.

— Sebastian Reichelt

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@Mohammad ¿Qué representan para ti los números imaginarios, en un sentido físico?

— Lorem Ipsum

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Actualmente, mi punto de vista (está sujeto a cambios) es el siguiente

Para la repetición sinusoidal, solo las frecuencias positivas tienen sentido. La interpretación física es clara. Para la repetición exponencial compleja, tanto las frecuencias positivas como las negativas tienen sentido. Es posible adjuntar una interpretación física a la frecuencia negativa. Esa interpretación física de la frecuencia negativa tiene que ver con la dirección de la repetición.

La definición de frecuencia proporcionada en la wiki es: "La frecuencia es el número de ocurrencias de un evento repetitivo por unidad de tiempo"

Si apegarse a esta definición, la frecuencia negativa no tiene sentido y, por lo tanto, no tiene interpretación física. Sin embargo, esta definición de frecuencia no es exhaustiva para la repetición exponencial compleja que también puede tener dirección.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j \sin (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

Sin embargo, esto es equivalente a

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [a (ω) \cos (ω n) + b (ω) \sin (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) \sin (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Entonces, en lugar de considerar un 'eje de frecuencia sinusoidal' positivo, se considera un 'eje de frecuencia exponencial complejo' negativo y positivo. En el 'eje de frecuencia exponencial compleja', para señales reales, es bien sabido que la parte de frecuencia negativa es redundante y solo se considera el 'eje de frecuencia exponencial compleja' positiva. Al hacer este paso implícitamente, sabemos que el eje de frecuencia representa una repetición exponencial compleja y no una repetición sinusoidal.

La repetición exponencial compleja es una rotación circular en el plano complejo. Para crear una repetición sinusoidal, se necesitan dos repeticiones exponenciales complejas, una repetición en sentido horario y otra en sentido antihorario. Si se construye un dispositivo físico que produce una repetición sinusoidal inspirada en cómo se crea la repetición sinusoidal en el plano complejo, es decir, mediante dos dispositivos que giran físicamente y que giran en direcciones opuestas, se puede decir que uno de los dispositivos rotativos tiene un negativo frecuencia y, por lo tanto, la frecuencia negativa tiene una interpretación física.

— niaren
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Me gusta su explicación ... lentamente está surgiendo una imagen, vea mi respuesta / edición a pregunta.

— Spacey

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En muchas aplicaciones comunes, las frecuencias negativas no tienen ningún significado físico directo en absoluto. Considere un caso donde hay un voltaje de entrada y salida en algún circuito eléctrico con resistencias, condensadores e inductores. Simplemente hay un voltaje de entrada real con una frecuencia y hay un voltaje de salida único con la misma frecuencia pero diferente amplitud y fase.

La ÚNICA razón por la que consideraría señales complejas, transformadas de Fourier complejas y matemática fasorial en este punto es matemáticamente conveniente. Podrías hacerlo igual de bien con matemáticas completamente reales, sería mucho más difícil.

Existen diferentes tipos de transformaciones de tiempo / frecuencia. La Transformada de Fourier utiliza una exponencial compleja como su función base y aplicada a una sola onda sinusoidal de valor real que produce resultados de dos valores que se interpretan como frecuencia positiva y negativa. Hay otras transformaciones (como la Transformada discreta del coseno) que no producirían frecuencias negativas en absoluto. De nuevo, es una cuestión de conveniencia matemática; La Transformada de Fourier es a menudo la forma más rápida y eficiente de resolver un problema específico.

— Hilmar
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Estoy de acuerdo, es ciertamente mucho más conveniente trabajar en el dominio complejo: el 'problema' se arrastra porque algunos individuos afirman que no hay un significado físico para las frecuencias negativas, pero de alguna manera poseen energía en el dominio de la frecuencia. Bueno, si no están 'realmente allí', ¿dónde está esta energía?

— Spacey

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Debe estudiar la transformación o serie de Fourier para comprender la frecuencia negativa. De hecho, Fourier demostró que podemos mostrar todas las ondas utilizando algunas sinusoides. Cada sinusoide se puede mostrar con dos picos a la frecuencia de esta onda, uno en el lado positivo y otro en el negativo. Entonces la razón teórica es clara. Pero por la razón física, siempre veo que la gente dice que la frecuencia negativa solo tiene un significado matemático. Pero supongo una interpretación física de la que no estoy seguro; Cuando estudias el movimiento circular como el principal de las discusiones sobre las olas, la dirección de la velocidad del movimiento en el semicírculo es inversa a la otra mitad. Esta puede ser la razón por la que tenemos dos picos en ambos lados del dominio de frecuencia para cada onda sinusoidal.

— Hossein
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Hossein, sí, estoy de acuerdo en que se había confundido por un tiempo. Estoy esperando su respuesta, pero si es simplemente el signo de la derivada de la fase, entonces veo un problema lingüístico, tal vez la fuente de confusión con muchas otras personas con las que también he hablado sobre esto. El significado físico de una 'frecuencia' es 'la tasa de oscilación' de algo, el significado tiene que ser positivo. Aquí es donde creo que las definiciones difieren de las de la física.

— Spacey

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

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¿Cuál es el significado de distancia negativa? Una posibilidad es que sea para la continuidad, por lo que no tiene que voltear el planeta Tierra al revés cada vez que cruza el ecuador y desea trazar su posición hacia el norte con una primera derivada continua.

Lo mismo ocurre con la frecuencia, cuando uno podría hacer cosas como la modulación de FM con una modulación más amplia que la frecuencia de la portadora. ¿Cómo trazarías eso?

— hotpaw2
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Vea mi nueva respuesta / edición a la pregunta

— Spacey

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Una manera fácil de pensar sobre el problema es obtener imágenes de una onda estacionaria. La onda estacionaria (en el dominio del tiempo) se puede representar como la suma de dos ondas viajeras opuestas (en el dominio de la frecuencia con el vector k positivo y negativo, o + w y -w, que es equivalente). Aquí viene la respuesta sobre por qué tiene dos componentes de frecuencia en la FFT. FFT es básicamente una suma (convolución) de muchas de esas ondas opuestas que viajan que representan su función en el dominio del tiempo.

— user3320933
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Solía ser para obtener la respuesta correcta para el poder que tenía que duplicar la respuesta. Pero si integra desde menos infinito a más infinito, obtiene la respuesta correcta sin el doble arbitrario. Entonces dijeron que debe haber frecuencias negativas. Pero nadie los ha encontrado realmente. Por lo tanto, son imaginarios o al menos desde un punto de vista físico inexplicable.

— Doug Barr
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Esto ha resultado ser un tema muy candente.

Después de leer la rica multitud de opiniones e interpretaciones buenas y diversas y dejar que el tema hierva en mi cabeza por algún tiempo, creo que tengo una interpretación física del fenómeno de las frecuencias negativas. Y creo que la interpretación clave aquí es que Fourier es ciego al tiempo. Ampliando esto aún más:

Se ha hablado mucho sobre la 'dirección' de la frecuencia y, por lo tanto, cómo puede ser + ve o -ve. Si bien las percepciones generales de los autores que dicen que esto no se pierde, esta afirmación es incompatible con la definición de frecuencia temporal, por lo que primero debemos definir nuestros términos con mucho cuidado. Por ejemplo:

La distancia es escalar (solo puede ser + ve), mientras que el desplazamiento es un vector. (es decir, tiene dirección, puede ser + ve o -ve para ilustrar el rumbo).
La velocidad es escalar (solo puede ser + ve), mientras que la velocidad es un vector. (es decir, nuevamente, tiene dirección y puede ser + ve o -ve).

Así, por las mismas fichas,

¡La frecuencia temporal es escalar (solo puede ser + ve)! La frecuencia se define como el número de ciclos por unidad de tiempo. Si esta es la definición aceptada, no podemos simplemente afirmar que va en "una dirección diferente". Es un escalar después de todo. En cambio, debemos definir un nuevo término: el vector equivalente de frecuencia. Quizás 'frecuencia angular' sería la terminología correcta aquí, y de hecho, eso es precisamente lo que mide una frecuencia digital .

Ahora, de repente, estamos en el negocio de medir el número de rotaciones por unidad de tiempo (una cantidad vectorial que puede tener dirección), VS solo el número de repeticiones de alguna oscilación física.

Por lo tanto, cuando preguntamos sobre la interpretación física de las frecuencias negativas, también preguntamos implícitamente cómo las medidas escalares y muy reales del número de oscilaciones por unidad de tiempo de algún fenómeno físico como las olas en una playa, la corriente alterna sinusoidal sobre un cable, mapear a esta frecuencia angular que ahora de repente tiene dirección, ya sea en sentido horario o antihorario.

A partir de aquí, para llegar a una interpretación física de las frecuencias negativas, deben tenerse en cuenta dos hechos. La primera es que, como señaló Fourier , se puede construir un tono real oscilatorio con frecuencia temporal escalar, f , agregando dos tonos complejos oscilatorios, con frecuencias angulares vectoriales, + w y -w juntas.

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

Eso es genial, pero ¿y qué? Bueno, los tonos complejos giran en direcciones opuestas entre sí. (Ver también el comentario de Sebastian). Pero, ¿cuál es el significado de las 'direcciones' aquí que dan a nuestras frecuencias angulares su estado vectorial? ¿Qué cantidad física se refleja en la dirección de rotación? La respuesta es el tiempo. En el primer tono complejo, el tiempo viaja en la dirección + ve, y en el segundo tono complejo, el tiempo viaja en la dirección -ve. El tiempo va hacia atrás.

Teniendo esto en cuenta y tomando un desvío rápido para recordar que la frecuencia temporal es la primera derivada de la fase con respecto al tiempo, (simplemente el cambio de fase con el tiempo), todo comienza a encajar:

La interpretación física de las frecuencias negativas es la siguiente:

Mi primera constatación fue que Fourier es independiente del tiempo . Es decir, si lo piensa, no hay nada en el análisis de Fourier o en la transformación en sí que pueda decirle cuál es la "dirección" del tiempo. Ahora, imagine un sistema físicamente oscilante (es decir, una sinusoide real, por ejemplo, una corriente sobre un cable) que oscila a alguna frecuencia temporal escalar, f .

Imagínese 'mirando' hacia abajo esta ola, en la dirección del tiempo hacia adelante a medida que avanza. Ahora imagine calcular su diferencia de fase en cada momento en que progresa más. Esto le dará su frecuencia temporal escalar, y su frecuencia es positiva. Hasta aquí todo bien.

Pero espere un minuto: si Fourier es ciego al tiempo, ¿por qué debería considerar solo su ola en la dirección del tiempo "hacia adelante"? No hay nada especial sobre esa dirección en el tiempo. Así, por simetría, también debe considerarse la otra dirección del tiempo. Por lo tanto, ahora imagine 'mirar' hacia arriba en la misma onda, (es decir, hacia atrás en el tiempo), y también realizando el mismo cálculo de la fase delta. Como el tiempo está retrocediendo ahora, y su frecuencia es de cambio de fase / (tiempo negativo), ¡su frecuencia ahora será negativa!

Lo que realmente dice Fourier es que esta señal tiene energía si se reproduce hacia adelante en el tiempo en el intervalo de frecuencia f, pero TAMBIÉN tiene energía si se reproduce hacia atrás en el tiempo aunque en el intervalo de frecuencia -f. En cierto sentido, DEBE decir esto porque Fourier no tiene forma de "saber" cuál es la "verdadera" dirección del tiempo.

Entonces, ¿cómo Fourier captura esto? Bueno, para mostrar la dirección del tiempo, una rotación de algún tipo debedebe emplearse de manera tal que una rotación en sentido de las manecillas del reloj genere "mirar" la señal en la flecha hacia adelante del tiempo, y una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj active "mirar" la señal como si el tiempo estuviera retrocediendo. La frecuencia temporal escalar con la que todos estamos familiarizados ahora debería ser igual al valor absoluto (escalado) de nuestra frecuencia angular vectorial. Pero, ¿cómo puede un punto que significa el desplazamiento de una onda sinusoide llegar a su punto de partida después de un ciclo y girar simultáneamente alrededor de un círculo y mantener una manifestación de la frecuencia temporal que significa? Solo si los ejes principales de ese círculo se componen de medir el desplazamiento de este punto en relación con la sinusoide original, y una sinusoide desactivada en 90 grados. (¡Así es exactamente como Fourier obtiene sus bases seno y coseno contra las que proyecta cada vez que realiza un DFT!). Y finalmente, ¿cómo mantenemos esos ejes separados? La 'j' garantiza que la magnitud en cada eje es siempre independiente de la magnitud en el otro, ya que no se pueden agregar números reales e imaginarios para producir un nuevo número en cualquiera de los dominios. (Pero esto es solo una nota al margen).

Así en resumen:

La transformada de Fourier es independiente del tiempo. No puede decir la dirección del tiempo. Esto está en el corazón de las frecuencias negativas. Dado que frecuencia = cambio de fase / tiempo, cada vez que tomas el DFT de una señal, Fourier dice que si el tiempo avanza, tu energía se ubica en el eje de frecuencia + ve, pero si tu tiempo retrocede, tu energía es ubicado en el eje de frecuencia -ve.

Como nuestro universo ha demostrado antes , es precisamente porque Fourier no conoce la dirección del tiempo, que ambos lados del DFT deben ser simétricos, y por qué la existencia de frecuencias negativas es necesaria y, de hecho, muy real.

— Spacey
fuente

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Creo que estás leyendo demasiado en esto en un intento de justificar una respuesta que ya has decidido. Las raíces de las frecuencias "negativas" se han señalado en otras respuestas. La transformada de Fourier usa exponenciales complejos como sus funciones básicas. Su naturaleza compleja permite discriminar el signo de la frecuencia exponencial a medida que aumenta el tiempo. Los exponenciales complejos son interesantes porque son funciones propias de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Eso hace que el FT sea muy útil como una herramienta de análisis de señal y sistemas.

— Jason R

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Las frecuencias negativas que existen en la descomposición compleja-exponencial de las señales son parte del paquete que viene junto con el uso de la transformada de Fourier. No es necesario llegar a una explicación cualitativa complicada de lo que deben significar.

— Jason R

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Además, creo que su primera viñeta podría estar en error; Siempre he escuchado la distancia conocida como escalar, mientras que el desplazamiento es una cantidad vectorial.

— Jason R

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También, además de lo que dijo Jason, realmente no veo el aspecto "físico" en esta respuesta, que se decía era deficiente en todos los demás ...

— Lorem Ipsum

@JasonR Sé que mi mensaje es largo, pero por favor, no trato de leer mi post (completamente) antes de hacer comentarios sobre ella en el futuro. Cuando lo haga, verá que no es complicado, pero encaja muy bien con lo que sabemos hasta ahora. Verá cómo mi explicación se deriva y construye de todas las respuestas anteriores y mi investigación en la literatura.

— Spacey