¿Qué es la frecuencia normalizada?

Estoy trabajando en DSP y encuentro dificultades para comprender el término Frecuencia normalizada que a menudo se usa con DFT y DTFT.

¿Qué es la frecuencia normalizada en DSP? ¿Y en qué se diferencia de la frecuencia analógica?

¿Qué importancia tiene normalizar la frecuencia en DSP?

¿Por qué el límite de frecuencia normalizada es 2π?

¿Cómo trata FFT la frecuencia normalizada?

dft

— usuario6363
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La frecuencia normalizada es la frecuencia en unidades de ciclos / muestra o radianes / muestra comúnmente utilizada como eje de frecuencia para la representación de señales digitales.

Cuando las unidades son ciclos / muestra, la frecuencia de muestreo es 1 (1 ciclo por muestra) y la señal digital única en la primera zona de Nyquist reside en una frecuencia de muestreo de -0.5 a +0.5 ciclos por muestra. Este es el equivalente de frecuencia de representar el eje de tiempo en unidades de muestras en lugar de un intervalo de tiempo real como segundos.

Cuando las unidades son radianes / muestra, la frecuencia de muestreo es $2\pi$ ( $2\pi$ radianes por muestra) y la señal digital única en la primera zona de Nyquist reside en una frecuencia de muestreo de $-\pi$ a $+\pi$ .

Cómo se produce esto puede verse en las siguientes expresiones:

Para una señal analógica dada como

X (t) = pecado (2 π F t)

$x(t)=\sin(2\pi F t)$ donde F es la unidad de frecuencia analógica en Hz,

Cuando se muestrea a una frecuencia de muestreo de $F_s$ Hz, el intervalo de muestreo es $T_s=1/F_s$ entonces la señal después de ser muestreada se da como:

X (norte T_{s}) = pecado (2 π F norte T_{s}) = pecado (\frac{2 π F}{F_{s}} norte)

$x(nT_s)=\sin(2\pi F nT_s) = \sin\left(\frac{2\pi F}{F_s}n\right)$

Donde las unidades de frecuencia normalizada, ya sea $\frac{F}{F_s}$ en ciclos / muestra o $\frac{2\pi F}{F_s}$ en radianes / muestra se muestra claramente.

Esto se ilustra a continuación utilizando $\Omega = 2\pi F$

Actualización: como señala @ Fat32 en los comentarios, las unidades para la frecuencia de muestreo $F_s$ en la figura a continuación debe ser "samples / sec" para que la frecuencia normalizada se convierta en radianes / muestra.

Para ver visualmente el concepto de "radianes / muestra" (y la mayoría de los otros conceptos DSP relacionados con la frecuencia y el tiempo) me ha ayudado mucho a evitar ver los tonos de frecuencia individuales como senos y / o cosenos y, en cambio, verlos como fasores giratorios ( $e^{j\omega t} = 1 \angle (\omega t)$ ) como se muestra en el gráfico a continuación, que muestra un giro fasorial complejo a una velocidad de 2 Hz y está asociado coseno y seno (siendo el eje real e imaginario). Cada punto en un DFT es un tono de frecuencia individual representado como un fasor giratorio único en el tiempo. Tal tono en un sistema analógico rotaría continuamente (en sentido antihorario si es una frecuencia positiva y en sentido horario si es una frecuencia negativa) a F rotaciones por segundo donde F es la frecuencia en Hz, o ciclos / segundo. Una vez muestreado, la rotación será a la misma velocidad pero será en muestras discretas donde cada muestra es un ángulo constante en radianes, y por lo tanto la frecuencia puede cuantificarse como radianes / muestra que representa la velocidad de rotación del fasor.

— Dan Boschen
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— Dan Boschen

La FFT generalmente usa otra unidad para el eje de frecuencia denominado Índice de frecuencia que va de 0 a N-1, donde N es el número de muestras utilizadas en la FFT. Esto se asigna a la frecuencia normalizada al igualar N a 1 ciclo / muestra. Por lo tanto, si divide la frecuencia FFT por N, obtendrá la frecuencia normalizada en ciclos / muestra. Por ejemplo, si tengo 10 muestras en la FFT en un sistema muestreado a 100 Hz, los intervalos de frecuencia en el resultado de la FFT irán de 0, 10, 20 ... 90 Hz. N-1 = 9 y 100 Hz representa 1 muestra por ciclo. Espero que haya ayudado.

— Dan Boschen

Sí, ya veo, la frecuencia de muestreo se debe dar en unidades de "Muestras por segundo" para que funcione, ¡buen punto @ Fat32! Las unidades consistentes son importantes.

— Dan Boschen

@ user6363 La frecuencia de muestreo es 1 ciclo / muestra significa que cuando utiliza la frecuencia Normalizada, cualquiera que sea la frecuencia de muestreo se convierte en 1 (ciclo por muestra), por ejemplo, si la frecuencia de muestreo es de 100 MHz, entonces 100 MHz se asigna a 1 y un tono a 25 MHz, por ejemplo, se asignaría a 0.25 (ciclos / muestra). Cuando las unidades son radianes / muestra, la frecuencia de muestreo de 100 MHz se asignaría a

2 π

$2\pi$ y el tono a 25 MHz se asignaría a

0.5 π

$0.5\pi$ . En mi ejemplo, la forma de onda se extiende en ancho de banda desde + 6π / 20 en una escala normalizada de radianes / muestra. Si la frecuencia de muestreo fuera de 100 MHz, entonces esto sería +/- 3/20 * 100 MHz = +/- 15MHz

— Dan Boschen

No, dije que bin 9 es 90 Hz y eso es correcto. También es correcto que bin [9] sea -10 Hz. ¡Mire las gráficas de frecuencia que tanto i como Fat32 han publicado y puede ver que las frecuencias de 0 a Fs son las mismas que 0 a Fs / 2 y -Fs / 2 a 0! Entonces, para un FFT de 10 puntos en un sistema de 100 Hz, las frecuencias son ambas 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 E igualmente 0, 10, 20, 30, 40, 50, - 40, -30, -20, -10! Echa un vistazo a FFTSHIFT en Matlab como lo hace esta traducción. Si esto sigue siendo confuso, sería una buena pregunta diferente (o buscar si ya ha sido respondida)

— Dan Boschen

La siguiente figura también muestra una vista gráfica simplificada del procedimiento de normalización de frecuencia como resultado del muestreo de una señal de tiempo continuo

— Grasa32
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