Señales aleatorias como señales de potencia

¿Por qué las señales aleatorias se consideran señales de potencia (es decir, señales con energía infinita y potencia media finita)?

¿Tiene esto algún sentido? ¡Qué significa que las señales aleatorias tengan energía infinita a pesar de que sabemos que las señales de la vida real (generalmente con aleatoriedad inherente en ellas) tienen energía finita!

— Probable
fuente

Estás haciendo múltiples afirmaciones que no son verdaderas o que solo son a medias. En primer lugar, se define un modelo para su señal aleatoria. Si ese modelo tiene energía infinita, es tu culpa. Entonces, sí, el universo es finito y el sol morirá algún día, pero a todos los efectos prácticos, todas las fuentes naturales de ruido tienden a ser una fuente infinita de energía.

— Marcus Müller

@ MarcusMüller Ok. Básicamente, lo que está diciendo es que esto solo es cierto para las señales aleatorias donde el ruido proviene de una fuente natural (como el movimiento browniano, por ejemplo). ¿Es eso correcto?

— Probable

No, eso no es correcto.

— Marcus Müller

Así como tiene una extensión infinita , es una construcción matemática y no una realidad física (práctica), la definición matemática de un proceso aleatorio debe tener energía infinita: la integral de energía no puede converger porque no puede mostrar que va a cero como va al infinito (como debe mostrar esto para que la integral sea convergente). Porque si pudieras mostrarlo, entonces se convertiría en una señal determinista a medida que t llega al infinito ... (ya que su valor se predice con certeza, que es 0, en el límite).

\sin (w t)

$\sin(wt)$

X (t)

$X(t)$

t

$t$

X (t)

$X(t)$

— Fat32

Sí, se trata de la definición matemática de un proceso aleatorio. Por otro lado, cualquier aplicación práctica observará solo una extensión finita de dicho proceso y, por lo tanto, tendrá una energía grande pero finita. Este tema es tan similar como observar una señal DC. La verdadera señal de CC debe tener una extensión infinita, por lo tanto, energía infinita. Pero el práctico no lo hará. Como consecuencia de este hecho, la transformada de Fourier de la DC verdadera es un impulso (amplitud infinita) mientras que el FT de una DC con ventana (práctica) es un pulso sinc , energía finita y valor finito.

— Fat32

Respuestas:

Tenga en cuenta que la condición

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) |^{2} d t < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt<\infty\tag{1}$

(es decir, que la señal tiene energía finita) es muy restrictiva cuando intentamos modelar señales, aunque obviamente cualquier señal que ocurra realmente debe tener energía finita. Modelar señales como procesos aleatorios significa que ignoramos la condición . Los modelos siempre son poco realistas hasta cierto punto, pero muchas señales pueden describirse muy bien mediante procesos aleatorios, aunque las señales tienen energía finita y sus modelos no. Este aspecto del modelo es a menudo irrelevante. $f(t)$ $(1)$

Un ejemplo que puede servir para comprender un poco mejor este hecho es el modelo utilizado con frecuencia de un proceso estacionario (de sentido amplio). Ciertas propiedades estadísticas de dicho proceso no cambian con el tiempo y, en consecuencia, la realización de dicho proceso generalmente no decaerá como , y generalmente no se satisfará, aunque solo estemos satisfechos interesado en las propiedades de ese proceso durante una determinada ventana de tiempo finito. Sin embargo, la potencia y el espectro de potencia se pueden definir para tales procesos, y la mayoría de los procesos útiles tienen potencia finita (o se puede hacer que tengan potencia finita). $t\rightarrow\pm\infty$ $(1)$

— Matt L.
fuente

"Modelar señales como procesos aleatorios significa que ignoramos la condición (1)", ¿significa esto que la afirmación de que las señales aleatorias no pueden tener energía finita sino que solo la potencia finita es verdadera? Lo siento si esto parece preguntar lo mismo dos veces, pero ahora estoy realmente confundido y creo que necesito una respuesta clara a esa pregunta.

— Probable

@ Probable: Sí, eso es cierto, aunque las realizaciones específicas de un proceso aleatorio teóricamente podrían tener energía finita.

— Matt L.

Pienso simple

Queremos modelar un fenómeno físico aleatorio para fines de análisis. Una forma es modelarlo mediante un proceso estocástico , es decir, una serie temporal de variables aleatorias . $X(t)$ $\left\lbrace X(t_k) = X(t=t_k), t_k \in \mathbb{R} \right\rbrace$

La variable aleatoria está asociada con una función de distribución de probabilidad (PDF) con algunos momentos finitos (en casos típicos, el primer y segundo momento equivalentes a la media y la varianza), nuevamente para fines de análisis. $X(t_k)$

El hecho de que el resultado de la variable aleatoria puede ser infinito, incluso con muy baja probabilidad, (en general) hace que la energía de las realizaciones del proceso estocástico infinita en cualquier versión de con ventana de tiempo) . $X(t_k)$ $X(t)$ $X(t)$

¿Qué hay del poder?

P = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T}^{+ T} | x (t) |^{2} d t

$P=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 \mathrm{d}t$

La potencia puede definirse finita, por ejemplo, suponiendo la ergodicidad de y los momentos finitos. $P$ $X(t)$

La gente pensó que este tipo de modelo era razonable, trató de usarlo y descubrió que se ajustaba a muchos procesos útiles. Así se mantiene el modelo.

— AlexTP
fuente

-1 por las tonterías en el cuarto párrafo. Por definición, las variables aleatorias toman valores en , no y, por lo tanto, las realizaciones de no pueden tener valor en un intervalo de duración distinta de cero, es decir, no contribuyen en nada a la energía de la realización, ya sea ventana de tiempo o no.

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate gracias, ¿podría entender que si las variables toman valores en (is ?), Las realizaciones de pueden tener un valor durante un intervalo de duración distinta de cero? ¿Y cómo puede explicar que una señal aleatoria con ventana de tiempo tiene energía infinita?

R +

$\mathbb{R}+$

(0, + \infty) \subset R

$(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

En exposiciones elementales de la teoría de variables aleatorias, una variable aleatoria es una cartografía de un espacio muestral a y se niega la existencia de cualquier resultados en que se asigna a : esos valores no son en . Una exposición más formal permite el rango pero insiste en que el conjunto de todos los resultados asignados a es un evento de probabilidad . Ahora, la energía es la integral de y un valor momentáneo de

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb R$

ω

$\omega$

\pm \infty

$\pm\infty$

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

\pm \infty

$\pm \infty$

0

$0$

| x (t) |^{2}

$|x(t)|^2$

\pm \infty

$\pm \infty$ no transmite energía; necesitasestar durante un intervalo de duración distinta de cero ...

| x (t) |

$|x(t)|$

\infty

$\infty$

— Dilip Sarwate

... y si su modelo de proceso aleatorio permite innumerables infinitas para tener un valor como debe ser si una realización de es golpear y permanecer allí durante un intervalo distinto de cero, tienes problemas más serios de los que preocuparte que trivialidades sobre energía y poder.

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm\infty$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Estoy de acuerdo con usted en que mi explicación sobre "la señal aleatoria tiene energía infinita" es incorrecta. Y si entiendo correctamente, usted acaba de explicar que un modelo de proceso aleatorio no puede tener incontablemente que tenga un valor para demostrar que estaba equivocado. ¿Puedes darme una idea de por qué la señal aleatoria es infinita en energía? La respuesta de Matt L "Modelar señales como procesos aleatorios significa que ignoramos la condición de energía finita" parece vaga. Gracias

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

Además del comentario de Marcus Müller, si una señal tiene energía finita, entonces el valor de la señal debe llegar a cero después de un tiempo suficientemente largo, pero para señales aleatorias sus señales generalmente no tienen esa restricción.

— Mohammad M
fuente

¡Pero lo que estás diciendo significa que las señales aleatorias no tienen energía finita! ¡Por lo tanto, es correcto decir que pueden tener un poder finito!

— Probable

Considere el ruido térmico de una resistencia, si pudiera mantener la temperatura de esa resistencia diferente de cero eternamente, entonces su ruido térmico tiene energía infinita, en otras palabras, si logró drenar la energía del ruido térmico de esa resistencia, su temperatura bajaría a menos que agrega energía a esa resistencia y mantiene su temperatura por encima de cero.

— Mohammad M

@ Probable El problema de la energía infinita aumenta cuando la amplitud de la señal diverge o tiene una duración infinita.

— Mohammad M

Está bien, tengo eso. Aún me estás confundiendo. En su respuesta, usted dio una condición para que las señales tengan energía finita y dijo que las señales aleatorias no la siguen, en otras palabras, las señales aleatorias no pueden tener energía finita. Ahora, está dando condiciones para que una señal aleatoria tenga energía infinita que es prácticamente imposible, lo que significa que las señales aleatorias no pueden tener energía infinita. ¡Al final no puedo decir cuál es la verdad!

— Probable

No dije que todas las señales aleatorias no siguen esa condición, podría definir procesos aleatorios (señales aleatorias) con energía finita. En ciencia siempre usamos suposiciones simplificadoras, por ejemplo, en mecánica celeste asumimos que la Tierra es solo un punto sin ninguna dimensión y sorprendentemente obtenemos resultados satisfactorios.

— Mohammad M