¿Por qué usaría una ventana de Hann o Bartlett?

Supongamos que estamos diseñando un filtro FIR de paso bajo, y quiero usar una de estas tres ventanas: Bartlett, Hann o Hamming. De Oppenheim & Schafer's Discrete-Time Signal Processing, 2nd Ed , p. 471:}

Los tres proporcionan el mismo ancho de banda de transición:

Δ ω = \frac{8 π}{norte}

$\Delta\omega=\frac{8\pi}{N}$ dónde

N

$N$ es el orden del filtro y se supone lo suficientemente grande.

Sin embargo, el exceso (llamémoslo $\delta$ ) es diferente para cada ventana, y se cumple la siguiente desigualdad:

δ_{H una metro metro yo norte sol} < δ_{H una norte norte} < δ_{si una r t l mi t t}

$\delta_{Hamming}<\delta_{Hann}<\delta_{Bartlett}$

Entonces, si usamos una ventana de Hamming, obtenemos el sobreimpulso más pequeño y una banda de transición con ancho $\Delta\omega$ . Si usamos una de las otras dos ventanas, el ancho de la banda de transición es el mismo, pero el sobreimpulso aumenta.

Esto me lleva a pensar que no hay ningún caso en el que uno use una ventana Hann o Bartlett, ya que la de Hamming es mejor que ellas: mejora un aspecto ( $\delta$ ), permanece igual en otro ( $\Delta\omega$ )

La pregunta es: ¿por qué alguien elegiría una ventana Hann o Bartlett si siempre se puede usar una Hamming?

— Tendero
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¿Podría dar alguna aclaración? ¿Tiene referencias para esas ecuaciones? ¿Qué quiere decir con "sobreimpulso" en este contexto?

— Martin Thompson el

@ MartinThompson Acabo de agregar la referencia. Por sobreimpulso me refiero al pico de la respuesta de frecuencia debido a la discontinuidad del filtro de paso bajo ideal al que uno intenta aproximarse.

— Tendero

Al revisar fred harris Figures of Merit para varias ventanas (Tabla 1 en este enlace ), se compara el Hamming con el Hanning (Hann) en varios valores de $\alpha$ y de eso está claro que el Hanning proporcionaría un mayor rechazo de la banda de detención (el clásico Hann está con $\alpha =2$ y de la tabla la caída del lóbulo lateral es -18 dB por octava). Le proporcioné el enlace, ya que puede ver muchas más consideraciones al elegir una ventana para varias aplicaciones.

El resultado de esto es evidente cuando se comparan los núcleos para una ventana de 51 muestras de Hann y Hamming usando Matlab / Octave. Tenga en cuenta el mayor nivel del primer lóbulo lateral con Hann, pero un rechazo significativamente mayor en general:

Personalmente, no usaría ninguna ventana para el diseño del filtro. Si hubiera alguna ventana, usaría la ventana de Kaiser, o preferiblemente las firles. Vea el diseño del filtro FIR: Window vs Parks-McClellan y Least-Squares para la discusión relacionada.

Convolví a un Hann de 26 muestras con un Hamming 26 para obtener un "Hann-Hamming" de 51 muestras alternativo con el siguiente resultado:

ACTUALIZACIÓN: Este Hann-Hamming no supera (en general) una ventana Kaiser de ancho de lóbulo principal similar:

Luego probé lo que llamo un "SuperKaiser", en el que involucré dos ventanas Kaiser de menor longitud para obtener una ventana alternativa de 51 toques con el siguiente resultado. Esto se hizo convolucionando Kaiser (26,5.5) con Kaiser (26,5.5) de modo que SuperKaiser (51,5.5) = conv (kaiser (26,5.5), kaiser (26,5.5). A primera vista, parece que generalmente Supera al Kaiser (51,12), iguala el ancho del lóbulo principal y proporciona un rechazo superior de la banda de detención sobre la mayor parte de la banda de detención. (¿el área relativa debajo de los dos primeros lóbulos laterales donde SuperKaiser es inferior compensa completamente toda la mejora de la banda de detención restante?). Si tengo tiempo, agregaré esa evaluación. ¡Interesante! Como señaló un ciudadano preocupado @A astutamente,

— Dan Boschen
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Hola Dan, gracias por tu respuesta. Esa mesa tiene algo que me parece extraño. Creí que la ventana de Hann se definió unívocamente . En ese documento, parece que tiene un parámetro variable

α

$\alpha$ . ¿De dónde viene? Si variamos

α

$\alpha$ , ¿la ventana sigue siendo una función de Hann estrictamente hablando?

— Tendero

@Tendero fred harris explica en detalle en la página 181 en la sección de enlaces C para el

C o s^{α} (X)

$Cos^{\alpha}(X)$ ventanas, y allí dice que la ventana de Hann está específicamente con

α = 2

$\alpha =2$ . Lo hice más claro en la respuesta, ¡gracias!

— Dan Boschen

@Tendero En resumen, lo que creo que faltaba en su tabla de referencia, pero una consideración importante es la caída del lóbulo lateral. Esto es especialmente preocupante con las aplicaciones de muestreo múltiple, ya que puede haber muchas bandas de alias que se pliegan, por lo que una caída rápida ayuda a minimizar el crecimiento de ruido. También en aras de minimizar el ruido general en presencia de AWGN (solo), una caída más rápida a expensas de un primer lóbulo más alto generalmente ganaría.

— Dan Boschen

Esa intrigante comparación me hizo repetirlo, pero no pude obtener los mismos resultados. Luego eché un vistazo más de cerca y parece que no coincidiste con el parámetro de Kaiser. Usando el Asdiseño, me acerqué mucho a As=108.5for N=32y N[hann]=17, N[ham]=16pero los lóbulos laterales de la ventana enrevesada son desiguales y se tambalean sobre los de Kaiser. He visto personas "mezclando" dos ventanas, o más, pero ya sea como media aritmética o geométrica, nunca enrevesadas. Aún así, los resultados son impresionantes.

— un ciudadano preocupado

@aconcernedcitizen Sí, algo no estaba bien al respecto y, de hecho, estaba usando demasiado rápido 30 y 31 para crear una ventana "equivalente" de 51 toques: ¡Lo que estaba haciendo era comparar una ventana de 60 muestras con un Kaiser de 51 toques - No es justo! Actualicé la publicación convolucionando 26 y 26, lo que da como resultado 51 muestras, lo que sería una comparación justa, y, por supuesto, Kaiser parece ganar por el rendimiento general (aunque no pasé por un ruido integrado de banda de detención total). Convolucionar parece una opción natural, ya que da como resultado la multiplicación de las respuestas de frecuencia, equivalente a la cascada de dos ventanas.

— Dan Boschen

Si hay un atacante con conocimiento de la ventana y tratando de enfocar el espectro de ruido para minimizar su S / N, entonces una solución minimax, como una ventana de Hamming, podría ser el contador óptimo.

La mayoría del ruido tiende a no ser tan intencionalmente malicioso, lo que hace que una solución minimax sea menos óptima, al menos estadísticamente hablando.

— hotpaw2
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