¿Por qué el alias es inherentemente no lineal?

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Por ejemplo, cuando se tienen 2 señales e y se transforma cada una agregando sus espectros, la operación es lineal, ya que el resultado sería el mismo que la transformación de . $x(t)$ $y(t)$ $(x + y)(t)$

Incluso cuando se mira la serie de muestreo, cada uno de los elementos infinitos se suma linealmente.

Pero, ¿cómo es el alias de una operación no lineal y cómo se demuestra matemáticamente?

sampling aliasing non-linear

— Starhowl
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Creo que te refieres a "imágenes" , no "alias" . Se convierten en alias si no se puede realizar un nuevo muestreo.

Debido a que no está agregando dos señales, y , las está multiplicando para que aparezcan estas imágenes. $x(t)$ $\operatorname{III}(t)$

\begin{aligned} x_{s} (t) & ≜ x (t) \cdot III (t / T) \\ = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \cdot δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & \triangleq x(t) \cdot \operatorname{III}(t/T) \\ &= x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \delta(t-nT) \\ \end{align}$

donde y $x[n] \triangleq x(nT)$

III (u) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (u - n)

$\operatorname{III}(u) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(u-n)$

\begin{aligned} III (t / T) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t}{T} - n) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{III}(t/T) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t}{T}-n\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t-nT}{T}\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \\ \end{align}$

La última línea es de hacer series de Fourier. Ahora, si usa la propiedad de desplazamiento de la Transformada de Fourier, entonces la Transformada de Fourier de es $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (f) & ≜ F {x_{s} (t)} \\ = F {x (t) III (t / T)} \\ = F {x (t) \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = F {\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (f - \frac{k}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(f) & \triangleq \mathscr{F}\{x_\text{s}(t)\} \\ &= \mathscr{F}\{x(t) \operatorname{III}(t/T) \} \\ &= \mathscr{F}\left\{x(t) \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \mathscr{F}\left\{\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(f-\tfrac{k}{T}\right) \\ \end{align}$

donde . $X(f) \triangleq \mathscr{F}\{ x(t) \}$

Ese proceso no lineal de multiplicación genera componentes de frecuencia que no existían previamente en . Esos nuevos componentes son simplemente versiones desplazadas de y se denominan "imágenes" . $x(t)$ $X(f)$

— robert bristow-johnson
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A partir de la definición de linealidad de un sistema, el proceso de aliasing bajo el operador de muestreo parece ser lineal ... Supongo que el término distorsión de aliasing crea de alguna manera la comprensión engañosa de que el proceso no es lineal. El muestreo es una operación lineal (pero variable en el tiempo) y el alias es solo un caso específico de muestreo en el que hay una superposición espectral. Pero la exposición en el dominio del tiempo es obviamente lineal: O me falta algo aquí. Por cierto: el aliasing no se puede invertir, pero ¿debería ser toda la transformación lineal (no estoy seguro)?

y (t) = T {x (t)} = (\sum δ (t - k T)) x (t)

$y(t) = T\{x(t)\} = (\sum {\delta(t-kT)})x(t)$

— Fat32

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Consejos:

¿Puede un sistema LTI generar componentes en alguna frecuencia si la señal de entrada era tal que ? $\omega_0$ $x(n)$ $X(e^{j\omega_0})=0$
¿El alias hace tal cosa?

Las respuestas a estas preguntas son sencillas y, combinadas, responden a la pregunta original.

— Tendero
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Sé que el muestreo se puede representar como una sucesión de bloques de construcción lineales, pero no recuerdo la fuente y la página. Esa debe ser la clave, ¿verdad?

— Starhowl

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@Tendero: es perfectamente posible que un sistema lineal genere nuevas frecuencias, si es una variante de tiempo. Es solo un sistema LTI que no puede.

— MBaz

@MBaz Gracias por señalarlo: he editado la respuesta.

— Tendero