Interpretación de la densidad espectral de potencia Doppler de Clarke

Lo que entiendo de la propagación Doppler es que el movimiento relativo entre el transmisor (TX) y el receptor (RX) cambia el tiempo de exposición de la señal. En relación con un TX-RX de distancia constante, un movimiento hacia el otro TX-RX "comprime" la señal en el tiempo (la señal tarda menos tiempo en propagarse), luego la señal se "expande" en el dominio de la frecuencia. Del mismo modo, un RX-TX que se aleja "expande" la señal en el tiempo y "comprime" su espectro. En resumen, eso está cambiando la Transformada de Fourier. Estos dos casos extremos establecen los límites izquierdo y derecho de propagación de una frecuencia original entre y donde es la dispersión Doppler máxima. $-f_d$ $+f_d$ $f_d$

Al observar el modelo Clarke, es solo un modelo de propagación múltiple con un rico entorno de dispersión y un ángulo de llegada igual. (enlace para más detalles modelo Clarke )

Si entiendo bien, hay dos supuestos que son razonables en el entorno urbano:

Rayleigh desvaneciéndose
ángulo de llegada igual o sensibilidad del receptor igual

He seguido las matemáticas del artículo original, parece estar bien. El espectro de potencia Doppler final es entonces $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

Lo que no entiendo es por qué la energía se concentra en las dos frecuencias de dispersión extremas y mientras que los ángulos de llegada son uniformes. ¿Hay alguna interpretación física? ¿Qué me estoy perdiendo del famoso modelo Clarke? $-f_d$ $f_d$ Personalmente, este modelo parece un buen modelo del entorno urbano típico.

RH Clarke, Una teoría estadística de la recepción de radio móvil , The Bell System Technical Journal, julio / agosto de 1968, p. 957ff

Respuestas Aunque la respuesta de Carlos captura la parte matemática más fundamental, la respuesta real está en su comentario sobre "mapeo entre ángulo y frecuencia". Además, la respuesta de Maximiliano también es interesante.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
fuente

Dada una velocidad constante y sin trayectos múltiples, esperaría un desplazamiento de frecuencia constante para Doppler ..

— Dan Boschen

Gracias Dan, es correcto. Pero no es por eso que pido ayuda.

— AlexTP

Lo siento, entendí mal tu pregunta; Creo que Carlos respondió a continuación, pero ¿qué esperabas ver para la energía que no sea la trama que muestras?

— Dan Boschen

Sí, Carlos respondió mi pregunta, pero en su comentario. Es el mapeo entre el ángulo de llegada y la frecuencia .

θ

$\theta$

f

$f$

— AlexTP

Respuestas:

Una manera simple y "no técnica" de pensarlo es el hecho de que la frecuencia Doppler es proporcional a . Las amplitudes del coseno, sin embargo, no están distribuidas uniformemente, sino que están fuertemente ponderadas hacia . $\cos\theta$ $\pm 1$

Ejemplo de diagrama para demostrar, usando el código Python / Pylab:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Se puede observar más rigor al observar que y la potencia recibida en cualquier ángulo es proporcional a un pequeño incremento de ángulo :

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$

d θ

$d\theta$

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

Y la potencia total se puede determinar integrando la cantidad anterior, que es idénticamente lo que define una densidad espectral de potencia.

— Robert L.
fuente

Gracias. Las matemáticas son claras, pero no responden mi pregunta. Mi pregunta es cuál es la interpretación física de esta distribución de cos, o cómo el LoS y la reflexión de 180 ° capturan físicamente la mayor parte de la energía.

— AlexTP

Las reflexiones de LoS y 180 grados no capturan la mayor cantidad de energía; esto no lo afirma el modelo. Solo parece ser así porque la gráfica con las singularidades es versus frecuencia, no ángulo. El mapeo no lineal entre frecuencia y ángulo es la razón por la cual aparecen las singularidades.

— Robert L.

Gracias de nuevo, esto es lo que quiero preguntar, el "mapeo no lineal". ¿Está de acuerdo en que puedo decir, en otro idioma, si tomamos la misma cantidad de ancho de banda para integrar, cuanto más cerca de las extremidades del espectro Doppler esté esta banda, más ángulo acumularemos, y esa es la ¿Por qué tenemos más poder en las extremidades?

Δ f

$\Delta f$

d Θ

$d\Theta$

— AlexTP

Además de la respuesta de Carlos, quiero corregir su comprensión general:

Lo que entiendo de la propagación Doppler es que el movimiento relativo entre el transmisor (TX) y el receptor (RX) cambia el tiempo de exposición de la señal. En relación con un TX-RX de distancia constante, un movimiento hacia el otro TX-RX "comprime" la señal en el tiempo (la señal tarda menos en propagarse), luego la señal se "expande" en el dominio de la frecuencia. Del mismo modo, un RX-TX que se aleja "expande" la señal en el tiempo y "comprime" su espectro. En resumen, eso está cambiando la Transformada de Fourier .

Su comprensión es correcta en el sentido de banda ancha. Sin embargo, el modelo de Clarke se refiere a la situación de banda estrecha, donde la extensión Doppler viene dada por . En una situación de banda ancha, no tiene una frecuencia de portadora. En el modelo Clarkes, se supone que el ancho de banda de la señal es mucho menor que y que la señal se concentra en . En el modelo de Clarke, cada frecuencia experimenta el mismo cambio, es decir, X_ {out} (f) = X_ {in} (f-df), donde es el cambio instantáneo, son las transformadas de Fourier de transmisión y señal recibida. Esto es aproximadamente correcto, siempre que $f_d=f_c \frac{v}{c}$ $\Delta f$ $f_c$ $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ $df$ $X_{in},X_{out}$ $\Delta f<<f_c$ . En su modelo de banda ancha, cada frecuencia experimenta un cambio que es proporcional a la frecuencia, es decir, con . $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ $\alpha=\frac{v}{c}$

EDITAR: Déjame explicarte un poco más en términos matemáticos:

En general, dada una onda sinusoidal con frecuencia que se envía a un receptor, donde TX y RX tienen una velocidad relativa de , la onda sinusoidal se recibe con una frecuencia (signo según la dirección del movimiento). $f$ $v$ $f(1\pm-\frac{v}{c})$

El supuesto de banda estrecha ahora dice que una señal de transmisión se encuentra alrededor de una frecuencia portadora donde es el ancho de banda de la señal (uso como ancho de banda para simplificar la notación). Ahora, suponga que se transmite una onda sinusoidal con frecuencia . Entonces, la onda sinusoidal recibida tiene una frecuencia donde proviene la aproximación $f_c\pm\Delta f$ $2\Delta f<<f_c$ $2\Delta f$ $f_c-\Delta f$

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{i n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ . Como puede ver, el desplazamiento de la frecuencia no depende de la frecuencia real en relación con la frecuencia de la portadora. Esta es la suposición de narowband.

No quiero decir que el efecto de propagación Doppler no cambia el ancho de banda de una señal. De hecho, difunde una señal por . Sin embargo, la distinción importante que quiero señalar es que en banda estrecha puede asumir que todas las frecuencias experimentan el mismo cambio, mientras que en banda ancha, el cambio depende de la frecuencia real. El modelo de Clarke es válido para el caso de banda estrecha, ya que describe la distribución del cambio de frecuencia, cuando una onda sinusoidal con cualquier frecuencia (dentro del ancho de banda) se envía al sistema. $f_D=f_c\frac{v}{c}$

— Maximilian Matthé
fuente

Gracias. Sin embargo no lo entiendo. ¿En qué se diferencian estos casos de banda ancha y banda estrecha? ¿Puedo decir en caso de banda estrecha y el porque ?. Permítame expresar mi opinión de otra manera, ¿me está diciendo que la propagación Doppler no cambia el ancho de banda de la señal? Mi opinión es que la banda se expande, pero la expansión no es significativa debido a la naturaleza (o condición) de banda estrecha .

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$

Δ f

$\Delta f$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$

— AlexTP

@AlexTP He agregado algunas matemáticas. derivación, tal vez esto lo deja más claro?

— Maximilian Matthé

Gracias. Ahora entiendo lo que quieres decir. De hecho, hemos contado la misma historia porque sigue siendo una operación de escala, pero la aproximación puntual al cambio de frecuencia constante es muy interesante. ¿Podría por favor dar más detalles sobre "El modelo de Clarke es válido para el caso de banda estrecha, ya que describe la distribución del cambio de frecuencia"? Entiendo que sin la suposición de banda estrecha, la fórmula del espectro Doppler no es lo que cité.

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$

— AlexTP

Lo que quiero saber es que si el soporte del espectro Doppler depende de la suposición de banda estrecha. Porque entendí que para una frecuencia dada, cada ángulo de arrivial crea un . El LoS y la trayectoria de reflexión de 180 grados crean dos extremidades del espectro Doppler, y el soporte debe ser independiente de la naturaleza de la señal transmitida. Lo que cambiará es solo el espectro de potencia en sí.

θ

$\theta$

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$

— AlexTP

Cada ángulo de llegada crea un cambio de frecuencia diferente , es decir . En otras formas, creo que puedes entender el espectro Doppler como una función de densidad de probabilidad del cambio Doppler experimentado, cuando el ángulo de llegada está igualmente distribuido. Es decir, es más probable que el cambio sea , pero no es muy probable que el cambio sea .

f (θ)

$f(\theta)$

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$

\pm f_{D}

$\pm f_D$

0

$0$

— Maximilian Matthé