¿Por qué este patrón Moiré se ve así?

Estaba haciendo algunos gifs de transformaciones de Mobius en Matlab, y algunos patrones extraños comenzaron a aparecer. No estoy seguro de si se necesita un conocimiento más profundo del tipo de archivo / algoritmo para comprender este fenómeno, pero pensé que tal vez podría haber una explicación puramente matemática. La imagen se obtiene coloreando el plano complejo como un tablero de ajedrez, y luego invirtiéndolo tomando el recíproco del conjugado complejo. Aquí está el psuedocódigo matemático para la imagen con un zoom dado :$k$

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

Y aquí están las fotos para $k=1$ , $k=50$ y $k=200$ . La resolución de cada imagen es $1000\times 1000$ . No tengo experiencia en el procesamiento de señales, ¡pero estaría ansioso por aprender cosas!

EDITAR:

• Más específicamente, ¿por qué el patrón Moiré se 'sincroniza' con la resolución de la imagen en ciertos puntos?
• ¿Se puede predecir el patrón de Moiré?

Deberá comprender el teorema de muestreo . En resumen, cada señal tiene lo que llamamos espectro ¹, que es la transformada de Fourier de la señal tal como viene en el dominio del tiempo (si es una señal de tiempo), o dominio espacial (si es una imagen. Desde la transformada de Fourier es biyectiva, una señal y su transformación son equivalentes, de hecho, a menudo se puede interpretar la Transformada de Fourier como un cambio de base. Llamamos a eso "conversión a dominio de frecuencia", ya que los valores de la transformada de Fourier para ordenadas bajas describen las cosas que cambian lentamente en la señal de dominio original (tiempo o espacial), mientras que el contenido de alta frecuencia está representado por valores de transformada de Fourier con posición alta.

En general, tales espectros pueden tener cierto soporte ; el soporte es el intervalo mínimo fuera del cual el espectro es 0.

Si ahora usa un sistema de observación cuya capacidad para reproducir frecuencias está limitada a un intervalo que es menor que dicho soporte (que a menudo es infinito, por cierto, y siempre es infinito para señales que tienen extensión finita en el tiempo o el espacio), usted no puede representar la señal original con ese sistema.

En este caso, su imagen tiene una cierta resolución, que es, al final, el hecho de que evalúa el valor de su función en puntos discretos en un espacio fijo, no infinitesimal. La inversa de ese espacio es la frecuencia de muestreo (espacial).

Por lo tanto, su imagen no puede representar la señal original: es simplemente matemáticamente imposible que el mapeo de la función subyacente a los píxeles sea realmente equivalente a la función original, ya que sabemos que en este caso, el rango total de frecuencias representables por su evaluación en puntos discretos ("muestreo") es la mitad de la frecuencia de muestreo y, por lo tanto, algo debe salir mal con la parte del espectro de la señal que está por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo.

Lo que sucede es, de hecho, que el espectro obtiene alias: cada componente espectral a una frecuencia se "desplaza" hacia abajo por , de modo que . En efecto, eso lleva a una "estructura" donde no debería haber algo.$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$$n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Tome las estructuras "grandes" de su imagen que he pintado de verde:

Ciertamente parece que hay contenido de baja frecuencia aquí, pero en realidad, es solo el contenido de alta frecuencia en frecuencias que se alias a frecuencias bajas, ya que estaba cerca de un múltiplo entero de la frecuencia de muestreo.$>\frac{f_\text{sample}}2$

Entonces, sí , puede predecir los artefactos que suceden a una señal 2D cuando se muestrea comparando su transformada de Fourier con el ancho de banda ofrecido por la frecuencia de muestreo.

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¹ esto podría ser diferente del espectro utilizado en el álgebra lineal para describir las propiedades propias de los operadores.