¿Es esta señal perfecta reconstruible?

La pregunta es la siguiente:

Déjame hacer el análisis:

El camino abajo primero:

$$\begin{align} X_1(z) &= z^{-1}X(z)\\ X_2(z) &= \frac{1}{2}\left\{X_1\left(z^\frac{1}{2}\right)+X_1\left(-z^\frac{1}{2}\right)\right\}\\ X_3(z) &= X_2(z^2) = \frac{1}{2}\left\{X_1(z)+X_1(-z)\} = \frac{1}{2}\{z^{-1}X(z)- z^{-1}X(-z)\right\}\\ X_4(z) &= zX_3(z) = \frac{1}{2}\left\{X(z)- X(-z)\right\} \end{align}$$ Y la carretera: $$X_6(z) = X_5(z^2) = \frac{1}{2}\{X(z) + X(-z) \}$$

Entonces la señal reconstruida es:

$$\bar{X}(z) = X_4(z) + X_6(z) = X(z)$$

Pero estoy muy confundido de que este banco de filtros no satisface la reconstrucción perfecta de acuerdo con los sistemas multirrata y bancos de filtros de PP V. en la página 193:

$$F_0(z) =H_1(-z), \quad F_1(z) = -H_0(-z)\tag{5.1.7}$$

Entonces estoy muy confundido. ¿Quién podría responder mi pregunta?

Sí, la señal está perfectamente reconstruida. Considere el proceso en cada etapa como lo muestro usando el siguiente diagrama de bloques:

Considere cada muestra de la señal en cada nodo en el diagrama (cada muestra se muestra usando el índice de muestra en el nodo para cada fila):

(Nota: Usted ve la misma forma de reconstrucción en el algoritmo FFT).

Intentaré ilustrar cómo se cancela el alias (abordando el comentario de MBaz):

Primero considere la respuesta de frecuencia de $z^{-1}$ (y $z^{+1}$) $z^{-1}$es la transformación z de una muestra de RETARDO de 1 en el dominio del tiempo (consulte Cómo / por qué$\mathcal Z$-transformación y retrasos en la unidad relacionados? ) La respuesta de frecuencia de un retraso es de magnitud constante y fase lineal (como veríamos con un cable de longitud fija; las frecuencias muy bajas solo se retrasarían una fracción de un ciclo, mientras que las frecuencias más altas se retrasarían varios ciclos:

Especificamente para $z^{-1}$, dado que el retraso es de 1 muestra por ciclo, la amplitud será constante (1) y la fase será lineal de 0 a $-2\pi$para el eje de frecuencia que va de 0 a nuestra frecuencia de muestreo. (Y$z^{+1}$ que es un avance en lugar de un retraso, será similar con la fase positiva versus la frecuencia:

La fase solo se muestra a continuación (la magnitud es 1 para todas las frecuencias)

Considere el siguiente espectro digital para ver qué sucede cuando pasamos por el sistema presentado por el OP. (Tenga en cuenta que cuando se trata de sistemas de frecuencia múltiple, así como de sistemas analógico-digitales de señal mixta, me ha ayudado a ver el eje de frecuencia desde$-\infty$ a $+\infty$, que describo a continuación).

Ahora observe lo hermoso que sucede cuando comparamos nuestro espectro original con el que se produce después de un retraso de la unidad. Estoy enfatizando la fase en$F_s/2$ ha girado 180 ° y luego completamente 360 ​​°, que vuelve a 0 ° en $F_s$. Esta rotación es continua desde el cambio de fase lineal de 0 a la frecuencia de muestreo (que tengo problemas para mostrar en esta imagen; estaría eternamente agradecido si alguien pudiera hacerme una gráfica en 3D que muestre el efecto espiral real con el espectro rojo y azul artefactos ya que uso esta trama en mi clase y, como es, lleva demasiado tiempo explicarlo)

Ahora revise lo que sucede con el espectro cuando diezmamos por 2 (el alias por el que MBaz estaba astutamente preocupado). Para mí, la analogía del alias que ocurre cuando haces la conversión de analógico a digital me ha ayudado a ver intuitivamente este proceso (ya que la aniquilación es una "conversión digital a digital". Ese comentario fue solo para aquellos que ya están familiarizados con el alias en el A / D proceso.):

Finalmente, revise lo que sucede cuando hacemos una interpolación de "inserción cero". La interpolación de inserción cero mantiene perfectamente el espectro sin otra distorsión que la imagen que ahora se convierte en parte de nuestro espectro digital primario. Esto se debe a que se realiza una inserción cero mediante la convolución de nuestra forma de onda con la respuesta de muestra unitaria (respuesta de impulso).

Con ese trasfondo importante, sigamos el sistema dado por el OP. Primero diezmamos nuestra señal de entrada en muestras pares e impares. Tenga en cuenta la rotación causada por el retraso y luego el aliasing causado por la aniquilación (como se describió anteriormente, para realmente visualizar esto correctamente, el espectro después del retraso sería una espiral donde el azul está exactamente 180 ° fuera de fase en el$f_s/2$ solo punto):

Las muestras pares e impares son interpoladas por dos haciendo una inserción de cero, y el camino inferior es una muestra avanzada (así que tenga en cuenta que hacer eso no es un proceso causal, terminaríamos con un "retraso parasitario" de una muestra para poder implementar esto realmente, siguiendo lo que se hizo en la tabla). Tenga en cuenta que el$z^{+1}$crea una espiral en la dirección opuesta. El efecto combinado de [$z^{-1}$, diezmado por 2, interpolado por 2, $z^{+1}$] cambiará la fase 180 ° para cada componente de frecuencia anterior $fs/2$ en nuestro espectro original, al pasar cada componente de frecuencia a continuación $fs/2$con desplazamiento de fase de 0 ° (así como crear las imágenes en el centro del nuevo espectro). Por lo tanto, al combinar (agregar) los dos caminos, se recupera el espectro original.

Nota: ¡También puedes restar los dos espectros para obtener un espectro invertido! Tenga en cuenta que sumar y restar es exactamente lo que hace con un DFT de 2 puntos:

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}$$

Aprendemos que el alias puede arruinar catastróficamente nuestro espectro y pensamos que una vez que los espectros están contaminados no podemos separar la interferencia. Ciertamente, ese sería el caso aquí si solo tuviéramos uno de los dos caminos, pero lo que está ocurriendo es que nuestro segundo camino es hacer un seguimiento de nuestro alias de tal manera que mientras tengamos ambos caminos, podemos cancelar constructivamente interferencia. Esto también da una idea de los esquemas de detección de múltiples usuarios.

Primero, la condición PP Vaidyanathan es suficiente, no necesaria.

La parte superior mantiene cada muestra pareja. La parte inferior convierte las probabilidades en pares, mantiene cada (novela) uniforme y coloca las (novelas) pares en su lugar anterior. Por lo tanto, los retrasos$z^{-1}$ y $z^{+1}$ exactamente intercalar los pares guardados (arriba) y las probabilidades (abajo).

De PP Vaidyanathan, la Figura 5.1-1 corresponde a su diagrama con $H_0(z) = 1$, $H_1(z) = z^{-1}$, $F_0(z) =1$, $F_1(z) = z^{1}$así

$$H_0(-z)F_0(z) + H_1(-z)F_1(z) = 1 +\frac{1}{-z}z^{1} = 0\,,$$

lo cual está bien.