Covarianza vs Autocorrelación

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Estoy tratando de averiguar si existe una relación directa entre estos conceptos. Estrictamente a partir de las definiciones, parecen ser conceptos diferentes en general. Sin embargo, cuanto más lo pienso, más creo que son muy similares.

Deje $X,Y$ ser vectores aleatorios WSS. La covarianza, $C_{XY}$ , viene dada por

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$ donde

H

$H$ representa el Hermitiano del vector.

Deje $Z$ ser un vector aleatorio WSS. La función de autocorrelación, $R_{XX}$ , viene dada por

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Editar nota Hay una corrección a esta definición aplicada al procesamiento de señal, vea la Respuesta de Matt a continuación.

La covarianza no implica un concepto de tiempo, supone que cada elemento del vector aleatorio es una realización diferente de algún generador aleatorio. La autocorrelación supone que un vector aleatorio es la evolución temporal de algún generador aleatorio inicial. Sin embargo, al final, ambos son la misma entidad matemática, una secuencia de números. Si dejas $X=Y=Z$ , entonces aparece

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$ ¿Hay algo más sutil que me estoy perdiendo?

autocorrelation covariance proof

— rbell
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R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

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$Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Por otro lado, en el procesamiento de señales, la autocorrelación generalmente se define como

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

es decir, sin restar la media. La autocovarianza está dada por

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Estas dos funciones están relacionadas por

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L.
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τ

$\tau$

@PhilMacKay: Claro, pero eso solo funciona para procesos WSS. Di las definiciones para el caso general, donde los procesos no son necesariamente estacionarios.

— Matt L.

Sí, de hecho, los procesos no estacionarios pueden ser molestos para el análisis de datos, ¡por eso siempre trato de desviar la tendencia de los datos antes de usar mis queridas herramientas estadísticas! Sin embargo, no siempre es posible ...

— PhilMacKay

0

$\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

$X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

En mi experiencia personal (astrofísica, procesamiento de varios sensores), la covarianza se usó como un coeficiente para verificar la similitud de dos conjuntos de datos, mientras que la autocorrelación se usó para caracterizar la distancia de correlación, es decir, qué tan rápido evoluciona un dato para convertirse en otro dato enteramente.

— PhilMacKay
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