Regla general de orden de filtro

¿Existe una regla general para calcular el orden aproximado de filtro de un FIR / IIR basado en la banda de paso frente a la frecuencia de muestreo? Me parece recordar haberlo leído una vez en Pregrado. Creo que podría hacer una estimación aproximada como scaler * passband / stopband.

He estado trabajando en la implementación de diferentes filtros FIR / IIR y me gustaría una fórmula aproximada que diga que si se cambia una variable, esto es aproximadamente cuántos grifos más necesitaría para obtener un rendimiento similar.

Mi "regla de oro" favorita para el orden de un filtro FIR de paso bajo es la "regla de oro de Fred Harris":

$N=[f_s/delta(f)]*[atten(dB)/22]$

donde delta (f) es la banda de transición, en las mismas unidades de $f_s$ $f_s$ es la frecuencia de muestreo del filtro de atenuación (dB) es el rechazo objetivo en dB

Por ejemplo, si tiene una banda de transición de 100 Hz en un sistema muestreado a 1KHz, y su requisito de rechazo es de 50 dB en la banda de parada, entonces el orden puede aproximarse por:

N = 1KHz / 100Hz * 50/22 = 23 tomas (redondeo)

Gracias Fred Harris!

Tenga en cuenta que otra fórmula más detallada que tiene en cuenta la ondulación de la banda de paso es la fórmula de Kaiser gracias a James Kaiser de Bell Labs, que incluí en mi gráfico a continuación.

Para la mayoría de las aplicaciones que he realizado, el enfoque de Fred Harris ha estado bien, ya que dado un cierto rechazo, los filtros resultantes que utilizan algoritmos de diseño de filtros tradicionales como Parks-McClellan y Remez han excedido mis requisitos de ondulación de banda de paso al cumplir el requisito de rechazo. (Lo que suelo hacer es estimar el orden, diseñar el filtro con ese orden, inspeccionar el resultado y aumentar o disminuir el orden desde allí para ajustar). Los resultados de las estimaciones son solo eso: estimaciones, y pueden variar ampliamente dependiendo de los parámetros generales de diseño y no se supone que sea una solución exacta.

Para aquellos familiarizados con el diseño de filtros que utilizan enfoques de ventana, la revisión del vagón o la ventana rectangular (que es un truncamiento simple) revela por qué se necesita $f_s/\Delta f$ grifos (que es lo mismo que $2\pi/\Delta\omega$si las unidades de frecuencia normalizada son radianes / muestra, como se hace a menudo) para completar la banda de transición. Vea las imágenes a continuación que ayudan a explicar esto.

La primera imagen a continuación muestra el Sinc esperado en frecuencia para una ventana rectangular en el tiempo, y luego en forma discreta, donde es una función Sinc con alias, con el punto clave de que para N muestras en el tiempo de la función rectangular, la respuesta de frecuencia será tiene su primer nulo en f = 1 / N (donde f es la frecuencia normalizada con 1 es la frecuencia de muestreo).

La siguiente imagen muestra el enfoque de ventana rectangular para el diseño de filtro (que nunca recomendaría pero es informativo). La primera gráfica en la esquina superior izquierda muestra la respuesta de frecuencia objetivo para nuestro filtro como una respuesta ideal de "pared de ladrillos". No confunda eso con la "ventana del vagón" (o "ventana rectangular") que también tiene una forma rectangular: ¡la ventana está en el dominio del tiempo!

Para realizar dicho filtro, usaríamos la respuesta de impulso de la respuesta de frecuencia deseada como los coeficientes en nuestro filtro FIR (los coeficientes del filtro son la respuesta de impulso --- ¡ponga un impulso dentro y fuera de todos los coeficientes! ) La respuesta de impulso para una respuesta de frecuencia rectangular (brickwall) es el FT inverso, que es una función de Sinc, en el dominio del tiempo, que se muestra en la esquina inferior izquierda como la "Respuesta de impulso requerida". Una función Sinc se extiende a más y menos infinito, por lo que para realmente realizar dicho filtro necesitaríamos un filtro infinitamente largo y tendría un retraso infinitamente largo. Obviamente no podemos hacer eso, por lo que truncamos los coeficientes a algo realizable. Cuanto más largo sea el filtro, más nos aproximamos a la respuesta ideal del brickwall,

Truncar la respuesta al impulso en el dominio del tiempo es matemáticamente idéntico a multiplicar por una ventana rectangular en el dominio del tiempo. (Tenga en cuenta que la respuesta al impulso también se retrasa la mitad de la duración de la ventana para que el sistema sea causal). Multiplicar en el dominio del tiempo es equivalente a convolución en el dominio de la frecuencia. El dominio de frecuencia (FT) de la respuesta al impulso antes del truncamiento es nuestra respuesta de frecuencia de ladrillo original deseada. La respuesta de frecuencia para la ventana rectangular es una función Sinc en el dominio de frecuencia.

Entonces, cuando truncamos la respuesta de impulso deseada (multiplicada en el tiempo por una ventana rectangular), hacemos que la respuesta de frecuencia deseada con una función Sinc, resulte en una aproximación de nuestra respuesta de frecuencia objetivo como se muestra en la esquina superior derecha de la imagen abajo.

Una clave para las funciones de Sinc en general es que el primer nulo es 1 / T, donde T es la duración de la función rectangular. Para un sistema muestreado, el primer nulo estaría en$2\pi/N$donde N representa el número de muestras para la duración de la función rectangular. En las imágenes se usa una frecuencia de radianes normalizada para el eje de frecuencia (si eso confunde, solo conoce el$2 \pi$es la frecuencia en radianes para la frecuencia de muestreo). Por lo tanto, en el proceso de la convolución, la transición de muro de ladrillo se extiende y en este caso pasa a 0 (nuestro$\Delta \omega$) sobre una frecuencia de $2\pi/N$! Asi que aqui

$$N = 2\pi/\Delta \omega$$ y, por supuesto, el filtro es pobre con lóbulos laterales, etc. Tenga en cuenta esto: esta transición de la función Sinc es la más nítida disponible para un número dado de toques; Tiene la mejor resolución en frecuencia pero el rango dinámico más pobre (rechazo). Otras tipologías de ventanas (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (mi favorita), etc.) mejorarán significativamente el rango dinámico, pero siempre a expensas de la transición.

Entonces, de lo anterior, vemos el origen de la $2\pi/\Delta\omega$eso se usa en las fórmulas de aproximación, y también vemos por qué hay un factor de multiplicación adicional que aumenta el número de toques por encima de esto para diseños de filtro típicos; la ventana rectangular nos daría la mejor transición posible con N toques donde$N = 2\pi/\Delta\omega$pero tienen muy poco rechazo. Se utilizan más toques para suavizar la transición de tiempo más allá de la transición nítida de la ventana rectangular, proporcionando un mayor rechazo a expensas del ancho de banda de transición.

La longitud de un filtro FIR u orden de un filtro IIR es muy aproximadamente inversamente proporcional a la relación del ancho de la banda de transición (el más estrecho, si es que muchos) a la frecuencia de muestreo, otras cosas son algo equivalentes, excepto para muy corto o muy Filtros de bajo orden.