¿Por qué los filtros de fase lineal tienen respuestas de impulso simétricas?

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Se dio por hecho que los filtros de fase lineal tienen respuestas de impulso simétricas, pero no veo por qué eso tiene que ser cierto. ¿Alguien puede explicar o probar esto?

— CAJ
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En realidad, creo que veo por qué.

X (j Ω) = El | X (j Ω) El | {mi}^{- j θ (Ω)}

$X(j\Omega) = |X(j\Omega)|e^{-j\theta(\Omega)}$

$|X(j\Omega)|$ es puramente real y, por lo tanto, si tomamos el IFT es uniforme y simétrico.

$\theta(\Omega)= a\Omega$ ya que la fase es lineal, por lo que simplemente cambia la magnitud par y simétrica correspondiente en el dominio del tiempo, por lo que la respuesta al impulso resultante es simétrica respecto . $e^{-ja\Omega}$ $a$

— CAJ
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Sí, esa es la explicación.

— Maximilian Matthé

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También eche un vistazo a esta pregunta y sus respuestas. Hay 4 tipos de filtros FIR de fase lineal. También puede tener una respuesta de impulso antisimétrica (que le da un cambio de fase adicional de ), y tiene filtros de fase lineal de longitud uniforme, donde la simetría no se trata de un número de muestra entero, sino de un punto intermedio Dos puntos de muestra.

π / 2

$\pi/2$

— Matt L.

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En realidad, no es obligatorio, dependiendo de cómo defina "filtro". Clements y Pease derivaron un filtro no implementable que es una fase lineal, pero que no tiene ninguna simetría.

Los filtros son inútiles ya que no se pueden implementar, pero es un problema de pensamiento interesante.

— Peter K.
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Una muy buena referencia de hecho. Gracias por aclararlo

— Laurent Duval

@LaurentDuval Sí, me gustó cuando lo encontré por primera vez. No es particularmente útil para fines de implementación, pero estira un poco el cerebro para ver cómo lo hicieron. :-)

— Peter K.