¿Por qué el filtro separable reduce el costo de computación del operador?

Un filtro separable en el procesamiento de imágenes se puede escribir como producto de dos filtros más simples. Típicamente, una operación de convolución bidimensional se separa en 2 filtros unidimensionales. Esto reduce el costo de computación del operador.

¿Por qué el costo de la computación es menor si uso un filtro separable? No puedo entender por qué tener 2 filtros en lugar de uno aumentará el rendimiento.

Suponga que tiene una imagen de tamaño$N\times M$

Si sabe tomar lo que se usa clásicamente, un núcleo de filtro cuadrado, digamos tamaño , necesitaría convolverlo con la imagen, que le da píxeles, cada uno necesita multiplicar- acumula Entonces terminas con operaciones.$L\times L$$N\times M$$L^2$$A_{2D}=L^2MN$

Ahora, si se puede descomponer ese filtro en una -sized horizontal y una 1D-filtro vertical-L tamaño, se puede hacer primero todas las filas - que es valores por fila, cada uno necesitan operaciones, por lo que para todas las filas - y luego haría lo mismo con el filtro vertical, por lo que para todas las columnas, y terminará con , y solo necesitaría mostrar que$L$$M$$L$$LMN$$LNM$$A_{1D}=2LMN$

$$\begin{align} A_{1D} &< A_{2D}\\ \iff\\ 2LMN &< L^2MN &&||:LMN, \text{ legal since $L,M,N >0$}\\ \iff\\ 2 &< L \end{align}$$

La mayoría de los filtros son más grandes que 2.