¿Existe alguna caracterización alternativa de la dispersión de una señal en detección comprimida?

El supuesto inicial para la detección comprimida (CS) es que la señal subyacente es escasa en cierta base, por ejemplo, hay un máximo de coeficientes de Fourier distintos de cero para una señal dispersa. Y las experiencias de la vida real muestran que las señales bajo consideración son a menudo escasas.$s$

La pregunta es: si recibe una señal, antes de enviar los bits muestreados de forma compresiva al receptor y dejar que se recupere lo mejor que pueda, ¿hay alguna forma de saber cuál es su escasez y si es un candidato adecuado para la compresión? sintiendo en primer lugar?

Alternativamente, ¿existe alguna caracterización adicional / alternativa de la dispersión que pueda decirnos rápidamente si CS será útil o no? Uno puede ver trivialmente que el remitente podría hacer exactamente lo que hará el receptor con un conjunto de medidas elegidas al azar, y luego tratar de encontrar la respuesta. Pero, ¿hay alguna forma alternativa de resolver esta pregunta?

Mi sospecha es que algo como esto debe haber sido estudiado, pero no pude encontrar un buen puntero.

Nota: había publicado esta pregunta en Mathoverflow, hace unas semanas, pero no recibí ninguna respuesta. De ahí la publicación cruzada.

De hecho, hay formas en que la escasez, o el contenido de la información, puede estimarse en el dispositivo de adquisición. Los detalles, la practicidad y la utilidad real de hacerlo son debatibles y dependen en gran medida del contexto en el que se aplica. En el caso de la formación de imágenes, se podrían determinar áreas de una imagen que son más o menos compresibles de forma predeterminada. Por ejemplo, vea "Muestreo compresivo basado en saliencia para señales de imagen" por Yu et al . En este caso, los requisitos de complejidad adicionales colocados en el dispositivo de adquisición proporcionan ganancias marginales.

Con respecto a sus preguntas sobre la determinación de la utilidad de la detección comprimida en una señal dada en el momento de la adquisición: si la señal en cuestión se adhiere a cualquier tipo de modelo conocido a priori , es posible la detección comprimida. La recuperación precisa depende simplemente de la relación entre el número de mediciones tomadas y el grado en que la señal muestreada se adhiere a su modelo. Si es un mal modelo, no pasará la transición de fase. Si es un buen modelo, podrá calcular una reconstrucción precisa de la señal original. Además, las mediciones de detección comprimida están, en general, preparadas para el futuro. Si tiene un número dado de mediciones para una señal que es insuficiente en número para recuperar con precisión la señal original utilizando el modelo que tiene hoy, entonces todavía es posible idear un modelo mejor mañana para el cual estas mediciones sean suficientes para una recuperación precisa.

Nota adicional (edición): El enfoque de adquisición mencionado en su pregunta sonaba bastante cercano a la detección comprimida adaptativa, por lo que pensé que lo siguiente podría ser de interés para los lectores de esta pregunta. Los resultados recientes de Arias-Castro, Candes y Davenport han demostrado que las estrategias de medición adaptativa no pueden, en teoría, ofrecer ganancias significativas sobre la detección comprimida no adaptativa (es decir, ciega). Remito a los lectores a su trabajo, "Sobre los límites fundamentales de la detección adaptativa", que debería aparecer en el ITIT pronto.

Un enfoque práctico sería verificar su señal de interés con una selección de diccionarios para determinar si es escasa en alguno de ellos. En realidad, no tiene que hacer lo que haría el receptor, es decir, comprimir y reconstruir la señal, para ver si es escasa en el diccionario en particular. Puede aplicarle una transformación lineal y verificar si el vector transformado es escaso. Si es así, la transformación inversa es su diccionario. Por disperso, me refiero a contar el número de coeficientes distintos de cero o insignificantes en el vector. Por ejemplo, calcule el DFT de su señal. Si la representación en el dominio de la frecuencia resulta ser escasa (suficiente), puede usar el DFT inverso como diccionario. Si la transformación no es invertible, por ejemplo, una matriz amplia, no es tan sencilla, pero aún debería ser factible con marcos.

Con respecto a las alternativas a la escasez, el endolito menciona algunos intentos de generalizar la "simplicidad" a algo más que la escasez. Además, también hay:

1. Rango bajo: utilizado en la finalización de matrices, que es una especie de generalización matricial de detección comprimida. Ver, por ejemplo , la finalización exacta de la matriz a través de la optimización convexa y documentos más recientes de Candès et al.
2. " k- simplicidad": los vectores no son exactamente escasos; la mayor parte de sus entradas son o bien una o b y unos pocos ( k ) de ellos están en el medio. Esto se describe, por ejemplo, en Donoho & Tanner, 'Precise Underampling Theorems' (ejemplo 3).

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$