Filtre el diseño mediante la distribución de polos y ceros en curvas paramétricas

Un $N$ º orden Butterworth filtro de paso bajo de frecuencia de corte $\omega_c$ se puede diseñar mediante la distribución de $N$ polos de manera uniforme con respecto al parámetro $0 < \alpha <1$ en un plano s paramétrico curva $f(\alpha) = \omega_c e^{i(\pi/2+\pi\alpha)}$ , que es un semicírculo:

Figura 1. Polos de un filtro Butterworth de sexto orden (CC BY-SA 3.0 Fcorthay)

Es notable que se pueda usar la misma curva paramétrica para cualquier grado de filtro proporcione la función de transferencia no normalizada:$N$

$$H(s)=\prod_{k=1}^N\frac{1}{s-f\left(\frac{2k-1}{2N}\right)},\tag{1}$$

y que el filtro resultante es siempre un filtro de Butterworth. Es decir, ningún otro filtro con el mismo número de polos y ceros tiene un mayor número de derivados de fuga de la respuesta de frecuencia de magnitud en las frecuencias $\omega = 0$ y $\omega = \infty$ . El conjunto de filtros de Butterworth que tienen la misma frecuencia de corte $\omega_c$ forma un subconjunto de filtros de Butterworth para los cuales la curva paramétrica $f(\alpha)$ es única. El subconjunto es infinito ya que $N$ no tiene límite superior.

Más generalmente, sin contar polos y ceros en el infinito a menos que provengan de las curvas paramétricas, cualquier filtro con $NN_p$ polos y $NN_z$ ceros, con $N$ un número entero y $N_z/N_p$ una fracción no negativa de enteros, tiene una fracción no negativa de enteros. función de transferencia de forma:

$$H(s)=\frac{\prod_{k=1}^{NN_z}\left(s-f_z\left(\frac{2k-1}{2NN_z}\right)\right)}{\prod_{k=1}^{NN_p}\left(s-f_p\left(\frac{2k-1}{2NN_p}\right)\right)},\tag{2}$$

donde $f_p(\alpha)$ y $f_z(\alpha)$ son curvas paramétricas que pueden describir la distribución de polos y ceros en el límite $N\to\infty$ .

• Pregunta 1: ¿Qué otros tipos de filtros que Butterworth, definidos por algún criterio de optimización, tienen subconjuntos infinitos, cada uno definido por la fracción $N_z/N_p$ y el par de curvas paramétricas $f_p(\alpha)$ y $f_z(\alpha)$ por Eq. 2, con los filtros que difieren solo por $N$ ? Filtros tipo I Chebyshev , sí; con ellos los polos residen en la mitad de una elipse con ángulo paramétrico $\alpha$ . Tanto Butterworth como los filtros Chebyshev tipo I y tipo II son casos especiales de filtros elípticos.. Para ser claros, por "subconjuntos infinitos" no me refiero a un número infinito de subconjuntos, sino a subconjuntos de tamaño infinito.
• Pregunta 2: ¿Los filtros elípticos que no son Butterworth-no-Chebyshev tienen subconjuntos tan infinitos?
• Pregunta 3: ¿Cada filtro elíptico está en un subconjunto tan infinito?

Si el conjunto infinito de todos los filtros elípticos es una unión de subconjuntos infinitos mutuamente excluyentes y exhaustivos de filtros elípticos, cada uno definido por una sola curva paramétrica para la colocación de polos y una sola curva paramétrica para la colocación de ceros, y una fracción irreducible del número de los ceros a los polos, luego la optimización numérica para obtener filtros elípticos podría hacerse optimizando las curvas paramétricas en lugar de los filtros para cualquier orden en particular. Las curvas óptimas podrían reutilizarse para varias órdenes de filtro, manteniendo la óptima. El "si" anterior es la razón por la que hago las preguntas 2 y 3. La pregunta 1 se trata de extender el enfoque a otros criterios de optimización.

Ciertamente, los gráficos de polo cero de los filtros elípticos parecen tener algunas curvas subyacentes:

Figura 2. Magnitud logarítmica de un filtro elíptico de paso bajo en el plano s. Los puntos blancos son polos y los puntos negros son ceros.

Una ventaja es que por Eq. 1, ciertos valores de y, por lo tanto, ciertas posiciones de polo y cero deben compartirse entre múltiples filtros:$\alpha$

Figura 5. Los valores obtenidos por el parámetro de curva para diferentes grados de filtro N . Observe cómo para varios órdenes de filtro tenemos, por ejemplo, α = 0.5 , o α = 0.25 y α = $\alpha$$N$$\alpha = 0.5$$\alpha = 0.25$$\alpha = 0.75.$

En particular, para un filtro que tiene polos o ceros, todos aparecen también en filtros que tienen 3 n N del mismo donde n es cualquier número entero positivo.$N$$3nN$$n$

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Demostrando un humor extremadamente seco, por solicitud del usuario A_A, eché un vistazo al lemniscate de Bernoulli como un ejemplo de curva paramétrica del plano s:

Figura 4. Lemniscate de Bernoulli

La siguiente curva paramétrica da la mitad izquierda del lemniscate de Bernoulli, con el parámetro y comenzando y terminando en s = 0 :$0 < a < 1$$s=0$

$$f(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}\sin(\pi\alpha)}{\cos^2(\pi\alpha) + 1} + i\frac{\sqrt{2}\sin(\pi\alpha)\cos(\pi\alpha)}{\cos^2(\pi\alpha) + 1}$$

Usando esta curva paramétrica para los polos, nos gustaría comparar de alguna manera entre diferentes las respuestas de frecuencia de magnitud obtenidas a través de la ecuación. 1. Una forma es mirar el N º raíz | H ( i ω ) | 1 / N de la respuesta de frecuencia de magnitud. También nos permite echar un vistazo a cómo se ven las cosas en N → ∞ :$N$$N$$|H(i\omega)|^{1/N}$$N\to\infty$

Figura 3. º raíz de la respuesta de frecuencia magnitud de un N filtro de polos que tiene sus polos distribuidos en la lemniscata uniformemente con respecto al parámetro de la curva. A frecuencias más altas que las mostradas, todas las parcelas siguen una pendiente de -6 dB / oct (-20 dB / década). En el límite N → ∞ hay una discontinuidad en la derivada de la gráfica en ω = 0 ⇒ s = 0 cuando el lemniscate (dos veces) cruza el eje imaginario del plano s en ese punto.$N$$N$$N\to\infty$$\omega=0 \Rightarrow s = 0$

El límite de la º raíz de la magnitud de la función de transferencia (Ec. 1) como N → ∞ se calculó como:$N$$N\to\infty$

$$\lim_{N\to \infty}\left|H(s)\right|^{1/N} = \prod_{0}^{1}\left|\frac{1}{s-f(\alpha)}\right|^{d\alpha} = e^{-\displaystyle\int_{0}^{1}\log\left(\left|s-f(\alpha)\right|\right)d\alpha},\tag{3}$$

donde $\prod$ representa una integral de producto que se puede calcular con el logaritmo natural, la integración y la función exponencial. Como a menudo con la integración, no había una expresión simbólica para la integral que debía evaluarse numéricamente para el lemniscate de Bernoulli. Con todo, las respuestas de frecuencia de magnitud resultantes parecen bastante inútiles para esta curva paramétrica "seleccionada al azar".

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El usuario Matt L. mencionó los filtros Lerner. Lo que he encontrado sobre ellos, con ligera interpretación:

$$H(s) = \sum_{k=1}^{m}\frac{B_k(s+a)}{(s+a)^2+b_k^2}\\ B_1 = 1/2,\, B_m = \frac{(-1)^{m+1}}{2}\\ B_i = (-1)^{k+1}\text{ for }k = 2,\dots,m-1,$$

con posiciones de polo tal que b m - b m - 1 = b 2 - b 1 = $-a+ib_k$para los3<k<m-1. Parece que estos polos, aunque están distribuidos en una línea, no son los polos del filtro completo sino polos de secciones paralelas. No he confirmado cuáles son los polos del sistema completo, o si los filtros Lerner son óptimos en algún sentido útil. Referencia:CM Rader, B. Gold, MIT Lincoln Laboratory Technical Note 1965-63,Digital Filter Design Techniques, 23 de diciembre de 1965.$b_m-b_{m-1} = b_2-b_1 = \frac{1}{2}(b_k - b_{k-1})$$3 < k < m-1$

A lo largo de la respuesta usaré las notaciones matemáticas , es decir, el equivalente matemático de expresar la respuesta de magnitud de un filtro en el dominio de la frecuencia. Para esto, se usará lugar de j ω , para reflejar mejor la pregunta de @ Olli sobre cómo encontrar una curva paramétrica matemática para aproximar los filtros. Como este no es un diseño de filtro, la frecuencia de la esquina se normaliza a la unidad, por lo tanto, x en lugar de ω / ω p .$x$$j\omega$$x$$\omega/\omega_p$

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No estoy seguro de si esta es la respuesta que está buscando, pero cualquier filtro se puede representar a través de la función de transferencia genérica:

$$H^2(x)=\frac{1}{1+\epsilon_p^2 R^2(x)}$$

donde , yR(x)es la función característica de atenuación. Apes la atenuación / ondulación de la banda de paso en dB, pero también puede estar en la banda de detención para Cauer / Elliptic, Pascal inverso o Chebyshev inverso (también conocido como "Chebyshev Tipo II"). Estos últimos se expresan como:$\epsilon_p=\sqrt{10^{A_p/10}-1}$$R(x)$$A_p$

$$H^2(x)=\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{\epsilon_s^2 T_N^2(x)}}$$

Para Butterworth, como has visto:

$$R(x)=x^N$$

para Chebyshev es , o los polinomios de Chebyshev ( cos / a c o s para x ≤ 1 y cosh / a c o s h para x > 1 ), para Elliptic es:$R(x)=T_N(x)$$\cos$$\rm acos$$x\leq1$$\cosh$$\rm acosh$$x>1$

$$R(x)=\mathrm{cd}\left(N\frac{K_1}{K}\mathrm{cd}^{-1}(x, k), k_1\right)$$

En el libro de Lutovac, hay algunas representaciones extremadamente simplistas a través de funciones equivalentes exactas para filtros elípticos. Por ejemplo, la función de transferencia de segundo orden se puede representar con precisión a través de:

$$R(x)=\frac{\left(\sqrt{1-k^2}+1\right)x^2-1}{\left(\sqrt{1-k^2}-1\right)x^2+1}$$

donde la única dependencia es del módulo .$k$

Estos son los tipos conocidos, para los tipos menos conocidos, por ejemplo, Legendre, , donde P N ( x ) son los polinomios de Legendre, para los filtros Pascal existe la versión desplazada y normalizada del Pascal polinomios, que es:$R(x)=P_N(x)$$P_N(x)$

$$\binom{\frac{N+1}{2}x+\frac{N-1}{2}}{N}$$

La lista continua. Algunos se aproximan de manera diferente, por ejemplo Gaussian es , que se expande con la serie MacLaurin, casi lo mismo para Bessel, que se expande desde su expresión de Laplace exp ( - s ) en sus términos de denominador como:$\lvert H(x)\rvert^2=\exp(-x^2)$$\exp(-s)$

$$a_i=\frac{(2N-1)!}{2^{N-i}i!(N-i)!}$$

También hay formas más exóticas de deducir la función de transferencia, como Papoulis (Optimum L) y Halpern, que utilizan los polinomios de Legendre para integrar la respuesta de modo que la función de transferencia disminuya monotónicamente con una alta selectividad de filtro. Para Papoulis, es:

$$R(x^2)= \int_{i=-1}^{2x^2-1}{\left(\sum_{i=0}^k{a_i \cdot P_i(x)}\right)^2}$$

donde es ⌊ ( N - 1 ) / 2 ⌋ , y a i son algunos términos ingeniosamente elegidos, dependiendo de si N o k , ambos, son pares / impares.$k$$\lfloor (N-1)/2\rfloor$$a_i$$N$$k$

Como se señaló, todos estos no usan el dominio de frecuencia para la representación, ya que en es la matemática x , real, no imaginaria j ω . La resolución de las raíces se puede hacer simplemente encontrando los polos (y ceros) para la función de transferencia al reemplazar x con j ω ., Descubriendo así H ( s ) H ( - s ) y seleccionando el polinomio de Hurwitz, o simplemente encontrar las raíces de la expresión matemática en $x$$x$$j\omega$$x$$j\omega$$H(s)H(-s)$$x$(Ver el enlace en el segundo comentario, a continuación). Esto hará que las raíces giren 90 grados, lo que significa que todo lo que hay que hacer es cambiar las partes reales e imaginarias entre ellas y luego seleccionar el lado derecho.

¿Esta respuesta es cercana a lo que estabas buscando?

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Creo que, en este punto, es importante decir que los filtros no existen porque las personas estaban lanzando dardos en un mapa para marcar los polos, llegaron a ser después de considerar cuidadosamente el objetivo que tenían en mente.

Por ejemplo, y con una calidad cada vez mayor, los filtros Butterworth surgieron debido a la necesidad de un filtro que fuera simple de diseñar, con atenuación monotónicamente creciente. Linkwitz-Riley no es más que Butterworth con un disfraz (inteligente) de tal manera que sumar un paso bajo y un paso alto con la misma frecuencia de esquina da como resultado una respuesta plana, útil para aplicaciones de audio.

Chebyshev (I y II) fueron diseñados para tener una mejor atenuación, a costa de ondas en la banda de paso o banda de detención. Legendre, ultraesférico, Pascal (y posiblemente otros) minimizan la onda, mejorando así el retraso del grupo, a costa de atenuaciones ligeramente reducidas.

Papoulis y Halpern se desarrollaron como una mezcla entre la ondulación de la banda de paso y la atenuación que aumenta monotónicamente, al tiempo que mejora la atenuación alrededor de la frecuencia de la esquina, a costa de una caída en la banda de paso.

Los filtros Cauer / Elliptic hacen uso de la ondulación tanto en la banda de paso como en la banda de detención para minimizar el orden requerido para la misma o mejor atenuación.

Todos estos están en el dominio de frecuencia, que son la mayoría de los filtros. En el otro sentido, los filtros de Bessel surgieron debido a la necesidad de aproximar un retraso analógico, por lo que convergen hacia medida que aumenta el orden, mientras que los filtros gaussianos se crearon para un sobreimpulso cero, por lo que se aproximan a exp ( - x 2 ) con orden creciente.$\exp(-j\omega)$$\exp(-x^2)$

Por supuesto, como alguien sugirió, también puede espolvorear postes y ver qué sale, tal vez configurarlos como una estrella o algún patrón de panal de abejas, elija su lemniscate favorito, pero esa no es la forma de hacerlo si desea un filtro fuera de el. Claro, puede obtener una respuesta exótica que incluso puede ser aplicable quién sabe dónde, como un solo caso de un millón, pero ese es realmente un caso particular. El camino a seguir es imponer primero un objetivo de diseño y ver cómo se puede lograr ese objetivo en términos de un filtro físicamente realizable. Incluso si eso significa crear un filtro aplicable de quién sabe dónde. :-)

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Dada la respuesta reciente de @Olli, considere el caso simple de un filtro Butterworth, diseñado para, por ejemplo 0.9@fp=1, 0.1@fs=5. Los cálculos son algo como esto:

$$\begin{align} Ap&=-20 \log_{10}(0.9)=0.91515\textrm{ dB}\\ As&=-20 \log_{10}(0.1)=20\textrm{ dB}\\ \epsilon_p&=\sqrt{10^{A_p/10}-1}=0.48432\\ \epsilon_s&=\sqrt{10^{A_s/10}-1}=9.94987\\ F&=\frac{f_s}{f_p}=\frac 51=5\\ N&=\frac{\log{\frac{\epsilon_s}{\epsilon_p}}}{\log{F}}=1.878 \end{align}$$

se calcula como redondeado, entonces N = 2 . Esto significa que, si coincide con la respuesta del filtro a la banda de paso, obtendrá una mayor atenuación en la banda de detención @fs. Usando la primera fórmula, la atenuación @ fs es:$N$$N=2$

$$H(f_s)=\frac{1}{\sqrt{1+0.48432^2*5^{2N}}}=0.08231<0.1$$

Si tuviera que hacer coincidir la banda de detención para tener 0.1@fs, tendría que aplicar una corrección de frecuencia:

$$\begin{align} \omega_{\text{scale}}&=\left(\frac{\epsilon_s}{\epsilon_p}\right)^{1/N}\frac{f_p}{f_s}=9.94987^{0.5}=0.9065\\ H(5*\omega_{\text{scale}})&=0.1 \end{align}$$

Entonces, la escala puede variar de 1 a 0.9065 y obtendrá todas las posibilidades infinitas entre los dos extremos. ¿Puedes hacerlo? Si. ¿Vale la pena? Incluso si puede encontrar un argumento o dos, la respuesta general sigue siendo no. ¿Cómo fue todo esto posible? Debido a que la respuesta inicial del filtro de Butterworth ya se obtuvo, por lo que sabía de antemano que tenía una expresión analítica para un filtro que tiene una atenuación de frecuencia que disminuye monotónicamente, lo que lleva a descubrir los polos desde el denominador de la función de transferencia, que suceden a Acuéstese en un círculo con ángulos iguales.$\omega_{\text{scale}}$$1$$0.9065$

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Dada la respuesta reciente de @Olli, hay algunas cosas que necesitan explicarse. Primero, todo esto tiene que ver con el diseño del filtro, no importa cómo lo veas: desde un punto de vista matemático o físico.

Si es matemático, entonces hay una parte interesante sobre su teoría, es decir, obtener un orden diferente del mismo filtro sin la necesidad de rediseñar el filtro original.

Pero desde el punto de vista de la realizabilidad física, todo el proceso implica un trabajo adicional innecesario, que (debería) conducir al mismo resultado, y esa es precisamente la parte sobre el aumento / disminución del orden del filtro para obtener uno nuevo. Mis argumentos son los siguientes.

Cualquier filtro, en su núcleo, sirve para filtrar frecuencias innecesarias, ya sean eléctricas, mecánicas u otras cantidades físicas. Su propósito es modificar un espectro (o retraso de grupo, o respuesta de tiempo). Si existe la necesidad de tal dispositivo, entonces ese dispositivo no puede diseñarse simplemente arrojando un filtro de cualquier tipo, "simplemente póngalo allí, filtrará las cosas"; Su diseño es, muy a menudo, bastante complicado. Pero todo este proceso tiene que comenzar desde los requisitos. Es decir, primero tiene que haber un objetivo específico, "filtremos todo por encima de ", o "deje que pase la luz infrarroja", o algo similar, que comienza por determinar primero los parámetros con los que ese filtro debe trabajo.$100\textrm{ Hz}$

Como un ejemplo rápido, si fuera necesario filtrar las frecuencias por debajo de y por encima de 3000  Hz , uno simplemente no agregaría ningún filtro de paso de banda con esas frecuencias de esquina, también se deben especificar las atenuaciones, ya sea ondulación en la banda de paso o stopband, o ambos, son necesarios o aceptados, ya sea que la fase sea lineal o no, cómo afectará el retraso del grupo a todo esto, etc. Entonces, antes que nada, hay parámetros específicos por los cuales el filtro necesita ser diseñado.$300\textrm{ Hz}$$3000\textrm{ Hz}$

Una vez que se especifican los parámetros, ¿cómo se diseñará el filtro? Supongamos que existe la necesidad de un filtro de paso bajo elíptico de 12º orden, y que existe la posibilidad de aumentar un filtro de bajo nivel a uno de alto orden (ver la respuesta de @ Olli). Digamos que el proceso de transformar un 4to orden en un 12vo orden es perfecto, que hay una manera de especificar los parámetros de diseño para el filtro de 4to orden de tal manera que, después de la transformación, el 12o orden resultante termine Satisfacer esas condiciones. "Pensamiento premeditado", por así decirlo.

La pregunta que surge es esta: ¿cómo se diseñará el filtro de cuarto orden? La respuesta solo puede ser a través de las formas conocidas de diseñarlo. Y, si hay otros métodos, por venir, o aún por inventar, esos tendrían que aplicarse, primero, para diseñar ese filtro de cuarto orden. Solo después se puede calcular el duodécimo orden. Como se asumió desde el principio, incluso con un proceso de transformación impecable, solo significaría que el filtro resultante, el orden 12, hacia el cual todo el diseño intenta converger, necesita dos pasos de diseño: uno, para el cuarto orden, y el segundo , para el duodécimo orden, haciendo que todo el proceso se vea gravado innecesariamente, ya que el filtro de duodécimo orden podría haberse diseñado simplemente, en primer lugar, con el método utilizado para el cuarto orden.

Vayamos un poco más lejos y asumamos un poco más. Los polos resultantes del duodécimo orden estarían en una elipse y los ceros en el eje imaginario. Las distancias entre ellos estarían definidas con precisión por las funciones elípticas subyacentes que gobiernan los filtros elípticos. Suponga que hay una manera de definir esas curvas, como espera @Olli, de tal manera que sea posible diseñar fácilmente un filtro desde el principio, de una sola vez, simplemente usando estas curvas (paramétricas o no) mediante las cuales todos los La colocación del poste está hecha. Hasta aquí todo bien. Pero esas curvas tendrían que calcularse primero, y los parámetros por los que se desenredan son los exactos que se utilizan para el diseño del filtro, los mismos que generarían el filtro a través de otros métodos, conocidos o aún desconocidos. Además, los cálculos aún no se han hecho y, muy probablemente, las definiciones subyacentes para esas curvas paramétricas tendrían que ser elípticas, de una forma u otra, o no saldría ningún filtro elíptico [nota # 1]. Lo que significa que todo el proceso sería simplemente otro método de diseño para los filtros elípticos, ya que los polos del filtro elíptico ya tienen expresiones de forma cerrada.

No me malinterpretes. Si un filtro se puede diseñar de una manera, de la misma manera se puede diseñar de otra. Es solo una de esas formas "aún por conocer". Bravo por el inventor. Pero si este método de diseño implica pasos adicionales para converger a los mismos resultados que tomaría para un método diferente, entonces no parece un enfoque factible. Y tenga en cuenta: no estoy usando nombres o etiquetas descriptivas cuando estoy hablando de los diseños de filtros, solo nombres genéricos, porque realmente no importa qué método esté usando siempre que los resultados sean correctos y el método no sea t gravando para el proceso de diseño.

[nota # 1]: Simplemente seguir una curva genérica para colocar los polos no es suficiente, y daré dos ejemplos, relacionados con los filtros de Butterworth, que tienen los polos colocados en un círculo con ángulos equidistantes. Los filtros Chebyshev tipo I tienen los polos colocados en una elipse, con los ángulos de Butterworth, pero proyectados en el eje imaginario hasta que interceptan la elipse. La modificación de la distancia entre los polos dará como resultado un comportamiento no equiripple, lo que hará que el filtro sea de un tipo que no sea Chebyshev. Del mismo modo, los polos del filtro elíptico Q mínimo están dispuestos en un círculo subyacente, pero eso no significa que sea un Butterworth (incluso si la ondulación es el mínimo posible para un filtro elíptico), porque tiene distancias desiguales entre los ángulos . Para el último, aquí '

En general, a pesar del interés genuino que trae la pregunta, me temo que no tiene más que un valor teórico, en el mejor de los casos, educativo, ya que no logra adaptarse a la parte que se ocupa del diseño del filtro. Por supuesto, si se demuestra que tiene un valor real, me alegraría que me demuestren lo contrario, ya que significaría que hay un nuevo método de diseño de filtros, posiblemente mejor que los ya existentes.

Aunque intuitivamente siento que entiendo lo que se requiere, lucho por expresarlo. No estoy seguro si esto se debe a mis propias limitaciones o si el problema es difícil o está mal planteado. Tengo la sensación de que está mal planteado. Entonces, aquí está mi intento:

1. El objetivo es construir un filtro. Es decir, calcular un conjunto de coeficientes de alguna forma racional:

$$H(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\sum_{m=0}^{M}b_m \cdot s^m}{s^N + \sum_{n=0}^{N-1} a_n \cdot s^n}$$

(Tenga en cuenta que no tiene que estar sobre el plano s, podría estar sobre el plano z también. Y también, se podrían considerar formas más simples (por ejemplo, para tener solo polos). corre con el plano s por el momento y mantengamos al nominador también).$H(s)$

2. Los filtros digitales se caracterizan por sus respuestas de frecuencia y de fase, ambos de los cuales pueden ser completamente determinado por los valores (o, posiciones en el plano s) de su coeficientes. La discusión hasta ahora parece centrarse en la respuesta de frecuencia, así que consideremos esa por el momento.$a_n,b_m$

3. Dado un conjunto de algunos algún punto σ + j ω en el plano s, la forma geométrica de derivar la respuesta de frecuencia en ese punto es formar "vectores cero" (desde las ubicaciones de los ceros, hacia el punto específico) y los "vectores polares" (de manera similar para los polos), suman sus magnitudes y forman la relación como en la ecuación anterior.$a_n, b_m$$\sigma + j \omega$

4. Preguntar "¿Qué tipos de [...] filtro definidos por algún criterio de optimización tienen subconjuntos infinitos definidos por curvas [...] paramétricas" es preguntar "¿Cuál es el par de algunas curvas paramétricas cuyas ubicaciones también dan como resultado una curva de respuesta de magnitud con características específicas deseadas sobre $A(s, \Theta), B(s, \Theta)$$\Theta$ (por ejemplo, pendiente, ondulación, otras). Donde es el parámetro (s) del ... paramétrico.$\Theta$

5. Una nota, en este punto: por un lado, estamos buscando que satisfagan dos restricciones. En primer lugar, tienen que satisfacer las restricciones de lo paramétrico (fácil) y, en segundo lugar, deben cumplir las restricciones especificadas por la característica de respuesta de magnitud (difícil).$A(s), B(s)$

6. Creo que el problema, en su forma actual, está mal planteado porque no hay una forma analítica de conectar las restricciones de respuesta de frecuencia con los parámetros ( , excepto la evaluación directa del mismo.$A(s,\Theta), B(s, \Theta)$ . En otras palabras, es imposible en este momento especificar algunas restricciones en la curva de respuesta de frecuencia y, a través de eso, trabajar hacia atrás y encontrar aquellos parámetros que satisfagan estas restricciones. Podemos ir al revés, pero no al revés.

7. Por lo tanto, lo que (creo que) de manera realista se puede hacer, en este momento, es aceptar de alguna forma específica y luego, comprobar cómo les va como filtros O , mueva iterativamente sus coeficientes tanto como lo permitan sus parámetros, para exprimir el mejor rendimiento que pueden ofrecer fuera de un rango particular de su Θ . sin embargo$A(s, \Theta), B(s, \Theta)$$\Theta$, podríamos encontrar que dadas las características resueltas de las elípticas (por ejemplo), un esquema iterativo dado en un parámetro puede elegir "doblar" los coeficientes lo más cerca posible de alguna característica de la región "elíptica". Es por eso que antes mencioné que podríamos encontrar que un parámetro paramétrico complejo podría descomponerse en una "suma de elípticas" o una "suma de curvas con características conocidas". Quizás se requiera una tercera restricción aquí, que lea "Manténgase alejado de las configuraciones conocidas de ", en otras palabras, penalice las soluciones que comienzan a parecer elípticas (pero aún en un esquema iterativo).$A(s), B(s)$

Finalmente, si este camino no está demasiado equivocado hasta ahora, entonces estamos cerca de algo así como Algoritmos genéticos para el diseño de filtros , o alguna otra técnica informada de "disparar en la oscuridad" por la cual los coeficientes de un filtro que satisfacen criterios específicos podrían derivarse con . Lo anterior es solo un ejemplo, hay más publicaciones en este sentido.

Espero que esto ayude.

No creo que sea particularmente notable que los filtros de Butterworth, definidos como filtros de todos los polos que son máximamente planos en (para el prototipo LPF, lo que significa que la mayoría de las derivadas posibles de | H ( j ω ) | son cero en ω = 0 ), tienen polos en el plano s que se encuentran igualmente espaciados en el semicírculo izquierdo de radio ω 0 .$\omega=0$$|H(j\omega)|$$\omega=0$$\omega_0$

del "máximo plano" y "sin ceros", puede derivar

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2N}}$$

para la th-orden Butterworth.$N$

entonces

$$|H(s)|^2 = \frac{1}{1 + \left(\frac{s}{j \omega_0}\right)^{2N}}$$

es un polo cuando el denominador es cero.$s=p_n$

$$1 + \left(\frac{p_n}{j \omega_0}\right)^{2N} = 0$$

o

$$\left(\frac{p_n}{j \omega_0}\right)^{2N} = -1$$

$$p_n^{2N} = - (j \omega_0)^{2N}$$

$$|p_n| = \omega_0$$

$$2N \cdot \arg\{p_n\} = -\pi + 2N \cdot \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$$

$$\arg\{p_n\} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{N}\left( n - \tfrac12 \right)$$

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para º orden Tchebyshev (tipo 1, que es de todos los polos), es la siguiente:$N$

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 T_N^2\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)}$$

donde

$$T_N(x) \triangleq \begin{cases} \cos\big(N \, \arccos(x) \big), & \text{if }|x| \le 1 \\ \cosh\big(N \, \operatorname{arccosh}(x) \big), & \text{if }x \ge 1 \\ (-1)^N \, \cosh\big(N \, \operatorname{arccosh}(-x) \big), & \text{if }x \le -1 \end{cases}$$

$N$

$$\begin{align} T_0(x) & = 1 \\ T_1(x) & = x \\ T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x) \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z} \ge 1 \end{align}$$

and $\omega_c$ is the "passband cutoff" frequency and not to be confused with the -3 dB frequency $\omega_0$. (but the two are related.)

the passband ripple parameter is $\epsilon = \sqrt{10^{\tfrac{dB_\text{ripple}}{10}} - 1}$

analytic extension again:

$$|H(s)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 T_N^2\left(\frac{s}{j \omega_c}\right)}$$

and again $s=p_n$ is a pole when the denominator is zero.

$$1 + \epsilon^2 T_N^2\left(\frac{p_n}{j \omega_c}\right) = 0$$

or

$$T_N\left(\frac{p_n}{j \omega_c}\right) = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

(because $\cos(\theta) = \cosh(j \theta)$ we can use either $\cos()$ or $\cosh()$ expression for $T_N()$

$$\cosh\big(N \, \operatorname{arccosh}\left(\frac{p_n}{j \omega_c}\right) \big) = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

$$N \, \operatorname{arccosh}\left(\frac{p_n}{j \omega_c}\right) = \operatorname{arccosh}\left(\pm \frac{j}{\epsilon}\right)$$

since

$$y = \cosh(x) = \tfrac12 ( e^x + e^{-x} )$$ and $$x = \operatorname{arccosh}(y) = \log \left( y \pm \sqrt{y^2-1} \right)$$

then

$$N \log \left( \frac{p_n}{j \omega_c} \pm \sqrt{\left(\frac{p_n}{j \omega_c}\right)^2 - 1} \right) = \log \left( \pm \frac{j}{\epsilon} \pm \sqrt{\left(\pm\frac{j}{\epsilon}\right)^2-1} \right)$$

$$N \log \left( \frac{\Re(p_n)+j \Im(p_n)}{j \omega_c} \pm \sqrt{\left(\frac{\Re(p_n)+j \Im(p_n)}{j \omega_c}\right)^2 - 1} \right) = \log \left( \pm j\left( \frac{1}{\epsilon} \pm \sqrt{\frac{1}{\epsilon^2}+1} \right) \right)$$

$$N \log \left( \frac{-j \Re(p_n)+\Im(p_n)}{\omega_c} \pm \sqrt{\left(\frac{-j \Re(p_n) + \Im(p_n)}{\omega_c}\right)^2 - 1} \right) \\ = \log \left( \pm j\left( \frac{1}{\epsilon} \pm \sqrt{\frac{1}{\epsilon^2}+1} \right) \right)$$

oh dear i might not get this blasted out in 12 hours

i've decided that i am too lazy to grok through this. if anyone wants to pick it up, feel free to. lotsa conversion between rectangular and polar notation of complex values. remember when

$$w = \pm \sqrt{\ z \ }$$ then $$|w| = +\sqrt{|z|}$$ and $$\begin{align} \arg\{w\} &= \frac12 \arg\{z \} + \arg\{ \pm 1\} \\ &= \frac12 \arg\{z \} + \frac{\pi}{2}(1 \pm 1) \end{align}$$

and remember

$$\log(z) = \log|z| + j\arg\{z\} + j 2 \pi n \quad n \in \mathbb{Z}$$

you may add any integer multiple of $2 \pi$ (say "$2 \pi n$") to any $\arg\{\cdot\}$ (choose the right-hand $\log()$ which is how you can get different poles for $p_n$).

if you like mathematical masturbation with complex variables, knock yourself out.

12th order elliptic to 4th order elliptic

(I'm not eligible to the bounty.) I tried to produce a counterexample to question 3 in Octave but was pleasantly surprised that I couldn't. If the answer to the question 3 is yes, then according to Fig 5. of the question, specific poles and zeros should be shared between an elliptic filter of order 4 and an elliptic filter of order 12, here shown explicitly:
Figure 1. Poles and zeros potentially shared between elliptic filters of order $N=12$ and $N=4$, in blue and numbered in order of ascending parameter $\alpha$ of a parametric curve $f(\alpha)$.

Let's design an order 12 elliptic filter with some arbitrary parameters: 1 dB pass band ripple, -90 dB stop band ripple, cutoff frequency 0.1234, s-plane rather than z-plane:

pkg load signal;
[b12, a12] = ellip (12, 0.1, 90, 0.1234, "s");
ra12 = roots(a12);
rb12 = roots(b12);
freqs(b12, a12, [0:10000]/10000);

Figure 2. The magnitude frequency response of the 12th order elliptic filter designed using ellip.

scatter(vertcat(real(ra12), real(rb12)), vertcat(imag(ra12), imag(rb12)));

Figure 3. Poles (red) and zeros (blue) of order 12 elliptic filter designed using ellip. Horizontal axis: real part, vertical axis: imaginary part.

Let's construct an order 4 filter by reusing select poles and zeros of the order 12 filter, per Fig. 1. In the particular case, ordering the poles and zeros by the imaginary part is sufficient:

[~, ira12] = sort(imag(ra12));
[~, irb12] = sort(imag(rb12));
ra4 = [ra12(ira12)(2), ra12(ira12)(5), ra12(ira12)(8), ra12(ira12)(11)];
rb4 = [rb12(irb12)(2), rb12(irb12)(5), rb12(irb12)(8), rb12(irb12)(11)];
freqs(poly(rb4), poly(ra4), [0:10000]/10000);

Figure 4. Magnitude frequency response of the 4th order filter that has all poles and zeros identical to certain ones of those of the 12th order filter, per Fig. 1. Zooming in gives a characterization of the filter: 3.14 dB pass band equiripple, -27.69 dB stop band equiripple, cutoff frequency 0.1234.

It is my understanding that an equiripple pass band and an equiripple stop band with as many ripples as the number of poles and zeros allows is a sufficient condition to say that the filter is elliptic. But let's try if this is confirmed by designing an order 4 elliptic filter by ellip with the characterization obtained from Fig 3 and by comparing the poles and zeros between the two order 4 filters:

[b4el, a4el] = ellip (4, 3.14, 27.69, 0.1234, "s");
rb4el = roots(b4el);
ra4el = roots(a4el);
scatter(vertcat(real(ra4), real(rb4)), vertcat(imag(ra4), imag(rb4)));

That against:

scatter(vertcat(real(ra4el), real(rb4el)), vertcat(imag(ra4el), imag(rb4el)), "blue", "x");

Figure 5. Comparison of pole (red) and zero (blue) locations between an ellip-designed 4th order filter (crosses) and a 4th order filter (circles) that shares certain pole and zero locations with the 12th order filter. Horizontal axis: real part, vertical axis: imaginary part.

The poles and zeros coincide between the two filters to three decimal places, which was the precision of the characterization of the filter derived from the order 12 filter. The conclusion is that at least in this particular case both the poles and zeros of the order 4 elliptic filter and those of the order 12 elliptic filter could have been obtained, at least up to a precision, by uniformly distributing them on the same parametric curves. The filters were not Butterworth or Chebyshev I or II type filters as both the pass band and the stop band had ripples.

4th order elliptic to 12th order elliptic

Conversely, can the poles and zeros of the 12th order filter be approximated from a pair of continuous functions fitted to the poles and zeros of the 4th order ellip filter?

If we duplicate the four poles (Fig. 5) and flip the sign of the real parts of the duplicates, we get an oval of sorts. As we go round and round the oval, the pole locations that we pass give a periodic discrete sequence. It is a good candidate for periodic band-limited interpolation by zero-padding its discrete Fourier transform (DFT). Of the resulting $24$ poles the ones with a positive real part are discarded, halving the number of poles to $12$. Instead of the zeros, their reciprocals are interpolated, but otherwise the interpolation is done the same way as with the poles. We start with the same ellip-designed 4th order filter as earlier (approximately identical to Fig. 4):

pkg load signal;
[b4el, a4el] = ellip (4, 3.14, 27.69, 0.1234, "s");
rb4el = roots(b4el);
ra4el = roots(a4el);
rb4eli = 1./rb4el;
[~, ira4el] = sort(imag(ra4el));
[~, irb4eli] = sort(imag(rb4eli));
ra4eld = vertcat(ra4el(ira4el), -ra4el(ira4el));
rb4elid = vertcat(rb4eli(irb4eli), -rb4eli(irb4eli));
ra12syn = -interpft(ra4eld, 24)(12:23);
rb12syn = -1./interpft(rb4elid, 24)(12:23);
freqs(poly(rb12syn), poly(ra12syn), [0:10000]/10000);

Figure 6. Magnitude frequency response of a 12th order filter with the poles and zeros sampled from curves matched to those of the 4th order filter.

It is not an accurate enough of a mockup of the Fig. 2 response to be useful. The stop band fares pretty well but the pass band is tilted. The band edge frequencies are approximately correct. Still, this shows potential considering the parametric curves were only described by 4 degrees of freedom each.

Let's have a look at how the poles and zeros match those of the $N=12$ ellip-generated filter:

[b12, a12] = ellip (12, 0.1, 90, 0.1234, "s");
ra12 = roots(a12);
rb12 = roots(b12);
scatter(vertcat(real(ra12), real(rb12)), vertcat(imag(ra12), imag(rb12)), "blue", "x");
scatter(vertcat(real(ra12syn), real(rb12syn)), vertcat(imag(ra12syn), imag(rb12syn)));

Figure 7. Comparison of pole (red) and zero (blue) locations between an ellip-designed 12th order filter (crosses) and a 12th order filter (circles) that was derived from the 4th order filter. Horizontal axis: real part, vertical axis: imaginary part.

The interpolated poles are quite a bit off, but zeros are matched relatively well. A larger $N$ as the starting point should be investigated.

6th order elliptic to 18th order elliptic

Doing the same as above but starting at 6th order and interpolating to 18th order shows a seemingly well-behaved magnitude frequency response, but still has trouble in the pass band when examined closely:

[b6el, a6el] = ellip (6, 0.03, 30, 0.1234, "s");
rb6el = roots(b6el);
ra6el = roots(a6el);
rb6eli = 1./rb6el;
[~, ira6el] = sort(imag(ra6el));
[~, irb6eli] = sort(imag(rb6eli));
ra6eld = vertcat(ra6el(ira6el), -ra6el(ira6el));
rb6elid = vertcat(rb6eli(irb6eli), -rb6eli(irb6eli));
ra18syn = -interpft(ra6eld, 36)(18:35);
rb18syn = -1./interpft(rb6elid, 36)(18:35);
freqs(poly(rb18syn), poly(ra18syn), [0:10000]/10000);

Figure 8. Top) 6th order ellip-generated filter, Bottom) 18th order filter derived from the 6th order filter. Zoomed in, the pass band has only two maxima and about 1 dB of ripple. The stop band is nearly equiripple with 2.5 dB of variation.

My guess about the trouble at the pass band is that the band-limited interpolation isn't working well enough with the (real parts of the) poles.

Exact curves for elliptic filters

It turns out that elliptic filters for which $NN_z = NN_p = N$ provide positive examples to questions 1 and 2. C. Sidney Burrus, Digital Signal Processing and Digital Filter Design (Draft). OpenStax CNX. Nov 18, 2012 gives the zeros and poles of the transfer function of a sufficiently general $NN_z = NN_p = N$ elliptic filter in terms of the Jacobi elliptic sine $\operatorname{sn}(t, k).$ Noting that $\operatorname{sn}(t, k) = -\operatorname{sn}(-t, k),$ Burrus Eq. 3.136 can be rewritten for zeros $s_{zi},$ $i=1\dots N$ as:

$$s_{zi}=\frac{j}{k\operatorname{sn}\big(K + K(2i+1)/N,k\big)},\tag{1}$$

where $K$ is a quarter period of $\operatorname{sn}(t, k)$ for real $t$, and $0 \le k \le 1$ can be seen as a degree of freedom in the parameterization of the filter. It controls the transition band width relative to pass band width. Recognizing $(2i+1)/N = 2\alpha$ (see Eq. 2 of the question) where $\alpha$ is the parameter of the parametric curve:

$$f_z(\alpha) = \frac{j}{k\operatorname{sn}(K + 2K\alpha,k)}\tag{2},$$

Burrus Eq. 3.146 gives the upper-left quarter-plane poles including a real pole for odd $N$. It can be rewritten for all poles $s_{pi},$ $i=1\dots N$ with any $N$ as:

$$s_{pi} = \frac{\operatorname{cn}\big(K + K(2i+1)/N, k\big) \operatorname{dn}\big(K + K(2i+1)/N, k\big) \operatorname{sn}\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big)\\ \times \operatorname{cn}\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big) + j \operatorname{sn}\big(K + K(2i+1)/N, k\big) \operatorname{dn}\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big)} {1-\operatorname{dn}^2\big(K + K(2i+1)/N, k\big) \operatorname{sn}^2\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big)}, \tag{3}$$

where $\operatorname{dn}(t, k) = \sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(t, k)}$ is one of the Jacobi elliptic functions. Some sources have $k^2$ as the second argument for all of these functions and call it the modulus. We have $k$ and call it the modulus. The variable $0 < \nu_0 < K´$ can be thought of as one of the two degrees of freedom $(k, \nu_0)$ of the sufficiently general parametric curves, and one of the three degrees of freedom $(k, \nu_0, N)$ of a sufficiently general elliptic filter. At $\nu_0 = 0$ the pass band ripple would be infinite and at $\nu_0 = K´$ where $K´$ is the quarter period of Jacobi elliptic functions with modulus $\sqrt{1-k^2}$, poles would equal zeros. By sufficiently general I mean that there is just one remaining degree of freedom that controls the pass band edge frequency and which will manifest itself as uniform scaling of both parametric curve functions by the same factor. The subset of elliptic filters that share $f_p(\alpha),$ $f_z(\alpha),$ and an irreducible fraction $N_z/P_z=1$, are transformed to another subset of infinite size in dimension $N$ upon change of the trivial degree of freedom.

By the same substitution as with the zeros, the parametric curve for the poles can be written as:

$$f_p(\alpha) = \frac{\operatorname{cn}\big(K + 2K\alpha, k\big) \operatorname{dn}\big(K + 2K\alpha, k\big) \operatorname{sn}\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big)\\ \times \operatorname{cn}\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big) + j \operatorname{sn}\big(K + 2K\alpha, k\big) \operatorname{dn}\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big)} {1-\operatorname{dn}^2\big(K + 2K\alpha, k\big) \operatorname{sn}^2\big(\nu_0, \sqrt{1-k^2}\big)}. \tag{4}$$

Let's plot the functions and the curves in Octave, for values of $k$ and $\nu_0$ (v0in the code) copied from Burrus Example 3.4:

k = 0.769231; 
v0 = 0.6059485; #Maximum is ellipke(1-k^2)
K = 1024; #Resolution of plots
[snv0, cnv0, dnv0] = ellipj(v0, 1-k^2);
dnv0=sqrt(1-(1-k^2)*snv0.^2); # Fix for Octave bug #43344
[sn, cn, dn] = ellipj([0:4*K-1]*ellipke(k^2)/K, k^2);
dn=sqrt(1-k^2*sn.^2); # Fix for Octave bug #43344
a2K = [0:4*K-1];
a2KpK = mod(K + a2K - 1, 4*K)+1;
fza = i./(k*sn(a2KpK));
fpa = (cn(a2KpK).*dn(a2KpK)*snv0*cnv0 + i*sn(a2KpK)*dnv0)./(1-dn(a2KpK).^2*snv0.^2);
plot(a2K/K/2, real(fza), a2K/K/2, imag(fza), a2K/K/2, real(fpa), a2K/K/2, imag(fpa));
ylim([-2,2]);
a = [1/6, 3/6, 5/6];
ai = round(a*2*K)+1;
scatter(vertcat(a, a), vertcat(real(fza(ai)), imag(fza(ai)))); ylim([-2,2]); xlim([0, 2]);
scatter(vertcat(a, a), vertcat(real(fpa(ai)), imag(fpa(ai))), "red", "x"); ylim([-2,2]); xlim([0, 2]);

Figure 9. $f_z(\alpha)$ and $f_p(\alpha)$ for Burrus Example 3.4, analytically extended to period $\alpha = 0\dots2$. The three poles (red crosses) and the three zeros (blue circles, one infinite and not shown) of the example are sampled uniformly with respect to $\alpha$ at $\alpha = 1/6,$ $\alpha = 3/6,$ and $\alpha = 5/6,$ from these functions, per Eq. 2 of the question. With the extension, the reciprocal of $\operatorname{Im}\big(f_z(\alpha)\big)$ (not shown) oscillates very gently, making it easy to approximate by a truncated Fourier series as in the previous sections. The other periodic extended functions are also smooth, but not so easy to approximate that way.

plot(real(fpa)([1:2*K+1]), imag(fpa)([1:2*K+1]), real(fza)([1:2*K+1]), imag(fza)([1:2*K+1]));
xlim([-2, 2]);
ylim([-2, 2]);
scatter(real(fza(ai)), imag(fza(ai))); ylim([-2,2]); xlim([-2, 2]);
scatter(real(fpa(ai)), imag(fpa(ai)), "red", "x"); ylim([-2,2]); xlim([-2, 2]);

Figure 10. Parametric curves for Burrus Example 3.4. Horizontal axis: real part, vertical axis: imaginary part. This view does not show the speed of the parametric curve so the three poles (red crosses) and the three zeros (blue circles, one infinite and not shown) do not appear to be uniformly distributed on the curves, even as they are, with respect to the parameter $\alpha$ of the parametric curves.

Elliptic filter design by the exact pole and zero formulas given by Burrus is fully equivalent to sampling from the exact $f_p(\alpha)$ and $f_z(\alpha)$, so methods are equivalent and available. Question 1 remains open-ended. It may be that other types of filters have infinite subsets defined by $f_p(\alpha)$ and $f_z(\alpha)$ and $N_z/N_p$. Of methods of approximating the elliptic parametric curves, those that do not depend on the exact functional form may be transferable to other filter types, I think most likely to those that generalize elliptic filters, such as some subset of general equiripple filters. For them, exact formulas for poles and zeros may be unknown or intractable.

Going back to Eq. 2, for odd $N$, we have for one of the zeros $\alpha = 0.5$, which sends it to infinity by $\operatorname{sn}\big(2K,k\big) = 0$. No such thing takes place with the poles (Eq. 4). I have updated the question to have such zeros (and poles, in case) included in the count $NN_z$ (or $NN_p$). At $k = 0$, all zeros go to infinity according to $f_z(\alpha)$, which looks to give type I Chebyshev filters.

I think question 3 just got resolved and the answer is "yes". That, as it appears that we can cover all cases of elliptic filter without being in conflict with $NN_z = NN_p$, with the new definition of those.

¡Parece que la mayoría de los participantes en esta discusión no conocen un tipo de filtro que pueda ser su solución real! A saber, los filtros Paynter desarrollados por Henry M.Paynter, que era profesor en el MIT y socio de Philbrick Reseach. Son el mejor enfoque para "ejecutar" el filtrado promedio y el tratamiento de señales de entrada no deterministas, mucho mejor que Bessel-Thomson. Los usé para aplicaciones fisiológicas, médicas y de sonar. Sus teorías están en las ediciones de enero-julio y julio-octubre del "Lightning Empiricist" bajo el título general: "Nuevos enfoques para el diseño de filtros de paso bajo activo" de Peter D. Hansen. Las tablas se dan para los polos del segundo , Filtros de 4to y 6to orden. Calculé lo mismo para el octavo orden.

I'll add here some notes that may be useful if someone wants to calculate the limit $N\to\infty$ of the $N$th root of magnitude of a transfer function with a multiple of $N$ poles and zeros distributed on arbitrary parametric curves. One could approximate that by using a large $N$ and by distributing the poles and zeros uniformly over the parameter of the parametric curve. Unfortunately the approximation always has infinite error on dB scale at the locations of the poles and zeros of the realizable transfer function. In that sense a better building block is a line segment with uniform pole or zero distribution along its length. Considering just $N$ zeros, distributed on a line segment with start point $x_0 + y_0i$ and end point $x_1 + y_1i:$

$$\lim_{N\to\infty}|H(0)|^{1/N} = \prod_0^1\Bigg|\left(x_0+y_0i\right)(1-\alpha) + \left(x_1+y_1i\right)\alpha\Bigg|^{d\alpha}\\ = \prod_0^1\left(\sqrt{\left(x_0(1 - \alpha) + x_1x\right)^2 + \left(y_0(1 - \alpha) + y_1\alpha\right)^2}\right)^{d\alpha}\\ = e^{\displaystyle\int_0^1\log\left(\sqrt{\left(x_0(1 - \alpha) + x_1\alpha\right)^2 + \left(y_0(1 - \alpha) + y_1\alpha\right)^2}\right)d\alpha}\\ = e^{\left(\displaystyle\frac{\left(x_0y_1 - x_1y_0\right)\operatorname{atan2}\left(x_0y_1 - x_1y_0, x_0x_1 + y_0y_1\right)}{\left(x_0 - x_1\right)^2 + \left(y_0 - y_1\right)^2} - 1\right)}\\ \times \left(x_0^2 + y_0^2\right)^{\left(\displaystyle\frac{x_1\left(x_0 - x_1\right) + y_0\left(y_0 - y_1\right) + \left(x_0 - x_1\right)^2}{2\left(\left(x_0 - x_1\right)^2 + \left(y_0 - y_1\right)^2\right)}\right)}\\ \times \left(x_1^2 + y_1^2\right)^{\left(\displaystyle\frac{x_0\left(x_1 - x_0\right) + y_1\left(y_1 - y_0\right) + \left(x_1 - x_0\right)^2}{2\left(\left(x_1 - x_0\right)^2 + \left(y_1 - y_0\right)^2\right)}\right)}$$

Some special cases need to be handled separately. If $x_0 = 0$ and $y_0 = 0$ we must use the limit:

$$= e^{-1}\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$$

Or conversely if $x_1 = 0$ and $y_1 = 0$:

$$= e^{-1}\sqrt{x_0^2 + y_0^2}$$

Or if the line segment has zero length, $x_0 = x_1$ and $y_0 = y_1$, we have just a regular zero:

$$= \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$$

To do the evaluation at different argument values of $H(z)$ or $H(s)$, simply subtract that value from the line start and end points.

What this looks like on the complex plane:
Figure 1. Magnitude of the transfer function with a single zero. 1 dB steps are indicated in turquoise and 10 dB steps in yellow.

Figure 2. The limit $N\to\infty$ of the $N$th root of magnitude of a transfer function with $N$ zeros uniformly distributed on a line segment. There is a crease at the line segment, but the value never goes to zero like with a regular, realizable zero. At sufficient distance this would look like a regular zero. The color code is the same as in Fig. 1.

Figure 3. An approximation of Fig. 2 using discrete zeros: 5th root of the magnitude of a polynomial with 5 zeros distributed uniformly on the line segment. At the location of each zero, the value is zero, because $0^{1/5} = 0.$

Figs. 1 and 2 were generated using this Processing sketch, with source code:

float[] dragPoints;
int dragPoint;
float dragPointBackup0, dragPointBackup1;
boolean dragging, activated;
PFont fnt;
PImage bg;
float pi = 2*acos(0.0);
int appW, appH;
float originX, originY, scale;

int numDragPoints = 2;

void setup() {
  appW = 600;
  appH = 400;
  originX = appW/2;
  originY = appH/2;
  scale = appH*7/16;
  size(600, 400);
  bg = createImage(appW, appH, RGB);
  dragging = false;
  dragPoint = -666;
  dragPoints = new float[numDragPoints*2]; 
  dragPoints[0] = originX-appW*0.125;
  dragPoints[1] = originY+appH*0.125;
  dragPoints[2] = originX+appW*0.125;
  dragPoints[3] = originY-appH*0.125;
  fnt = createFont("Arial",16,true);
  ellipseMode(RADIUS);
  activated = false;
}

void findDragPoint() {
  int cutoff = 49;
  int oldDragPoint = dragPoint;
  float dragPointD = 666666666;
  dragPoint = -666;
  for (int t = 0; t < numDragPoints; t++) {
    float d2 = (mouseX-dragPoints[t*2])*(mouseX-dragPoints[t*2]) + (mouseY-dragPoints[t*2+1])*(mouseY-dragPoints[t*2+1]);
    if (d2 <= dragPointD) {
       dragPointD = d2;
       if (dragPointD < cutoff) {
         dragPoint = t;
       }
    }
  }
  if (dragPoint != oldDragPoint) {
    loop();
  }
}

void mouseMoved() {
  if (activated) {
    if (!dragging) {
      findDragPoint();
      loop();
    }
  }
}

void mouseClicked() {
  if (dragPoint < 0) {
    activated = !activated;
    if (activated) {
      findDragPoint();      
    }
  }
  loop();
}

void mousePressed() {  
  if (dragPoint >= 0) {
    dragging = true;
    dragPointBackup0 = dragPoints[dragPoint*2];
    dragPointBackup1 = dragPoints[dragPoint*2+1];
  } else {
    dragging = false; // Not needed?
  }
  loop();
}

void mouseDragged() {
  if (!activated) {
    dragPoint = -666;
    activated = true;
    findDragPoint();
  }
  if (dragging) {
    int x = mouseX;
    int y = mouseY;
    if (x < 5) {
      x = 5;
    } else if (x >= appW - 5) {
      x = appW - 6;
    }
    if (y < 5) {
      y = 5;
    } else if (y >= appH - 5) {
      y = appH - 6;
    }
    dragPoints[dragPoint*2] = x;
    dragPoints[dragPoint*2+1] = y;
    loop();
  }  
}

void mouseReleased() {
  if (activated && dragging) {
    dragging = false;
    loop();
  }
}

float sign(float value) {
  if (value > 0) {
    return 1.0;
  } else if (value < 0) {
    return -1.0;
  } else {
    return 0;
  }
}

void draw() {
  for(int y = 0; y < appH; y++) {
    for(int x = 0; x < appW; x++) {
      float x0 = (dragPoints[0]-x)/scale;
      float y0 = (dragPoints[1]-y)/scale;
      float x1 = (dragPoints[2]-x)/scale;
      float y1 = (dragPoints[3]-y)/scale;
      float gain;
      if (x0 == x1 && y0 == y1) {
        gain = sqrt(x0*x0 + y0*y0);
      } else if (x0 == 0 && y0 == 0) {
        gain = exp(-1)*sqrt(x1*x1 + y1*y1);
      } else if (x1 == 0 && y1 == 0) {
        gain = exp(-1)*sqrt(x0*x0 + y0*y0);
      } else {
        gain = exp((x0*y1 - x1*y0)*atan2(x0*y1 - x1*y0, x0*x1 + y0*y1)/(sq(x0 - x1) + sq(y0 - y1)) - 1)*pow(x0*x0 + y0*y0, (x1*(x0 - x1) + y0*(y0 - y1) + sq(x0 - x1))/(2*(sq(x0 - x1) + sq(y0 - y1))))*pow(x1*x1 + y1*y1, (x0*(x1 - x0) + y1*(y1 - y0) + sq(x1 - x0))/(2*(sq(x1 - x0) + sq(y1 - y0))));
      }
      int intensity10 = round(log(gain)/log(10)*0x200)&0xff;
      int intensity1 = round(log(gain)/log(10)*(0x200*10))&0xff;
      bg.pixels[y*appW + x] = color(intensity10, 0xff, intensity1);
    }
  }
  image(bg, 0, 0);
  noFill();
  stroke(0, 0, 255);
  strokeWeight(1);
  line(dragPoints[0], dragPoints[1], dragPoints[2], dragPoints[3]);  

  //ellipse(originX, originY, scale, scale);  
  if (!activated) {
    textFont(fnt,16);
    fill(0, 0, 0);
    text("Click to activate",10,20);
    for (int x = 0; x < appW; x++) {
      color c = color(110*x/appW+128, 110*x/appW+128, 110*x/appW+128);
      set(x, 0, c);  
    }
    for (int y = 0; y < appH; y++) {
      color c = color(110*y/appH+128, 110*y/appH+128, 110*y/appH+128);
      set(0, y, c);  
    }
  }

  for (int u = 0; u < numDragPoints; u++) {
    stroke(0, 0, 255);
    if (dragPoint == u) {
      if (dragging) {
        fill(0, 0, 255);
        strokeWeight(3);
        ellipse(dragPoints[u*2], dragPoints[u*2+1], 5, 5);
      } else {
        noFill();
        strokeWeight(3);
        ellipse(dragPoints[u*2], dragPoints[u*2+1], 6, 6);
      }
    } else {
      //noFill();
      //strokeWeight(1);
      //ellipse(dragPoints[u*2], dragPoints[u*2+1], 6, 6);
    }
  }
  noLoop();
}