¿Cuál es un buen ejemplo de un proceso ergódico?

Estoy tratando de encontrar ejemplos simples de un proceso ergódico. ¿Qué proceso le viene a la mente como una buena ilustración de sus propiedades?

Una investigación rápida ( Wikipedia , otra respuesta ) da principalmente ejemplos de procesos no ergódicos. Además, me pregunto qué fenómenos del mundo real se prestan para ser modelados como un proceso ergódico.

Supongamos que te doy una serie de números y te digo que fueron elegidos al azar. Y sabes que no estoy tratando de engañarte. Los números son: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Ahora le propongo que prediga que el próximo, o al menos, estará lo más cerca posible. ¿Qué número elegirías?

[Pensar]

[Calcular]

• Apuesto a que es probable que la mayoría de los lectores elijan un número entre $0$ y $6$ . Debido a la duración limitada.
• Quizás un número entero. ¿Quién es probable que proponga $\pi$ (incluso pensando en los primeros dígitos)?
• Posiblemente $2$ , $3$ o $4$ . Quizás incluso $3$ .

Básicamente, está asumiendo que proporcioné números con alguna regla desconocida. Y quizás, puede pensar (o formular la hipótesis) que la serie de números dados, si es lo suficientemente larga, puede proporcionarle una buena comprensión de las reglas que tengo en mente. Si lo haces, planteas la hipótesis de que mi proceso mental es ergódico:

Un proceso en el que cada secuencia o muestra considerable es igualmente representativa del todo (como en relación con un parámetro estadístico) ( Merriam-Webster )

Aquí, no hay forma de estar seguro de que mi serie siga un proceso ergódico. 3432 es el PIN de mi tarjeta, 3 un error (tenía la intención de 6, pero soy torpe), 4, 3, 1 y 5 son los primeros dígitos de $\pi$ que uso con bastante frecuencia. Mi próximo "número" habría sido C (en hexadecimal). No creo que este proceso sea ergódico. Cada número proviene de diferentes leyes. Pero, sinceramente, no lo sé. Tal vez estoy sujeto a algunas fuerzas de orden superior que me conducen bajo reglas de ergodicidad.

Entonces, la ergodicidad es una hipótesis de una especie de "simplicidad" en las reglas de un proceso. Como estacionariedad o escasez. Lanza un dado regular con $6$ caras. Lanza una moneda normal. Si nada en el exterior intenta influir en el resultado (un ser invisible que atrapa el dado y muestra alguna cara de su elección), es probable que produzca un proceso ergódico.

En lugar de poder lanzar un número infinito de monedas, con su número infinito de pulgares, precisamente en el mismo segundo, arroja una moneda cada segundo y cree que el resultado final es casi el mismo.

El movimiento browniano posee propiedades ergódicas también.

Del artículo de Wikipedia:

Se dice que un proceso estocástico es ergódico si sus propiedades estadísticas pueden deducirse de una única muestra aleatoria del proceso, suficientemente larga.

En otras palabras: las propiedades estadísticas del conjunto de tiempo son las mismas que las propiedades estadísticas del conjunto de realización.

Tal vez necesitemos dar un paso atrás y hablar sobre qué es un proceso estocástico, para comenzar.

Imagina que es un día tormentoso. Te sientas en casa y miras por la ventana. De vez en cuando, ves hojas que vuelan por tu ventana. Obtiene sus marcadores de pizarra y dibuja un sistema de coordenadas en su ventana, por lo que ahora puede observar múltiples caminos de hojas y compararlos:

Por lo tanto, cada camino es una realización del proceso estocástico "caminos de hojas en un día tormentoso".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Por lo general, es más difícil entender el caso no ergódico (es por eso que las personas buscan ejemplos de tales procesos con mayor frecuencia).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Con respecto a la segunda parte de su pregunta, podemos utilizar la ergodicidad para simplificar los problemas. Por ejemplo, entre la media del conjunto y el promedio de tiempo, uno podría ser difícil o incluso imposible de calcular (o simular). Pero como sabemos (o suponemos) que el proceso es ergódico (es decir, son idénticos), simplemente calculamos el que es más simple. Como ejemplo, puedo pensar en los métodos de Monte Carlo (como los que usamos para modelar el rendimiento de error de un sistema de comunicación) donde simulamos la cadena de transmisión-recepción y la repetimos varias veces y promediamos los resultados para conocer el propiedades del conjunto (como la probabilidad de error, etc.).