¿Cómo puede la secuencia de salida ser igual a la suma de copias de las señales de respuesta al impulso, escaladas y desplazadas en el tiempo?

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Lo siento, esta es una pregunta muy básica. Pero me cuesta entender cómo es posible.

Sé que la respuesta de impulso es la salida del sistema cuando la secuencia de impulso se da como entrada con las condiciones iniciales establecidas en 0.

Escalar es aumentar la amplitud de la señal, es decir, si multiplico la entrada por 2, la salida también se multiplicará por 2.

La señal de cambio de tiempo es si retraso la entrada, entonces la salida también se retrasa por el mismo factor.

Ahora, ¿alguien puede ilustrar esto con un ejemplo de cómo cualquier secuencia puede descomponerse en la suma de copias de la respuesta al impulso, señales escaladas y desplazadas en el tiempo?

Muchas gracias por adelantado.

discrete-signals

— sarbjit
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Parece que está considerando un sistema lineal invariante en el tiempo , aunque no lo ha dicho explícitamente. ¿Desea saber cómo puede decir que cualquier secuencia dada, por ejemplo, una que se obtuvo sobre la base de lanzamientos de monedas, puede expresarse como una suma de respuestas de impulso a escala y desplazadas en el tiempo? Es decir, dada una secuencia arbitraria, ¿encuentra la entrada al sistema que producirá la secuencia dada como salida? Si es así, busque información sobre la deconvolución

— Dilip Sarwate

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Para obtener más información sobre por qué es importante la respuesta impulsiva, consulte la respuesta a esta pregunta .

— Jason R

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Una interpretación de su pregunta podría ser la siguiente:

Dado que un sistema tiene las siguientes dos propiedades:

la propiedad de escala u homogeneidad de que si la respuesta a la entrada es la salida , entonces, para cualquier elección de , la respuesta del sistema a la entrada escalada es la salida escalada , $x(t)$ $y(t)$ $\alpha$ $\alpha\cdot x(t)$ $\alpha\cdot y(t)$

la propiedad de invariancia en el tiempo que para todas las opciones de , la respuesta a la entrada con retraso de tiempo es la salida con retraso de tiempo , $\tau$ $x(t-\tau)$ $y(t-\tau)$

entonces, ¿por qué el sistema tiene la propiedad de aditividad o superposición de que la respuesta a la entrada es donde la respuesta del sistema a es , ???? Más generalmente, ¿por qué la respuesta del sistema a la entrada dada por ? $x_1(t)+x_2(t)$ $y_1(t) + y_2(t)$ $x_i(t)$ $y_i(t)$ $i = 1,2~$ $~~~~~~~~~~~$ $\alpha\cdot x_1(t-\tau_1) + \beta\cdot x_2(t-\tau_2)$ $\alpha\cdot y_1(t-\tau_1) + \beta\cdot y_2(t-\tau_2)~$

La respuesta es que un sistema con las propiedades 1 y 2 no necesariamente tiene la propiedad de aditividad o superposición. Si la propiedad de superposición también es válida, el sistema se llama sistema lineal invariante en el tiempo. Pero esta es una suposición adicional que debe hacer (o probar).

Comúnmente, la homogeneidad y la aditividad se combinan en la propiedad de linealidad que dice que la respuesta a input (es decir, una combinación lineal de entradas y ) es (es decir, la misma combinación lineal de salidas e ). $\alpha\cdot x_1(t)+\beta\cdot x_2(t)$ $x_1(t)$ $x_2(t)$ $\alpha\cdot y_1(t) + \beta\cdot y_2(t)$ $y_1(t)$ $y_2(t)$

Un par de puntos que deben guardarse en el fondo de su mente:

Un sistema puede ser lineal sin ser invariante en el tiempo (por ejemplo, un modulador , o invariante en el tiempo sin ser lineal (por ejemplo, un circuito de ley cuadrada $x(t) \to x(t)\cos(\omega t)$ $x(t) \to [x(t)]^2$
Un sistema aditivo que produce la salida en respuesta a la entrada y, por lo tanto, parece tener la propiedad de escalado. tener la propiedad de escala. Convéncete de que esto es cierto intentando demostrar que la respuesta a es . En resumen, la escala y la aditividad son dos propiedades diferentes y un sistema que disfruta de una de ellas no necesariamente disfruta de la otra. $y(t) + y(t) = 2y(t)$ $x(t) + x(t) = 2x(t)$ $0.5x(t)$ $0.5y(t)$

Una segunda interpretación de su pregunta podría ser la siguiente:

Para un sistema lineal invariante en el tiempo, se supone que la salida es la suma de versiones escaladas y retardadas en el tiempo de la respuesta al impulso, pero no veo cómo es esto. Por ejemplo, el resultado de convolución estándar (para sistemas de tiempo discreto) dice donde es la respuesta de impulso (o unidad) del sistema. Pero esto parece estar completamente al revés ya que la respuesta al impulso se está ejecutando hacia atrás en el tiempo (como en en el argumento de en la fórmula anterior en comparación con en el que el tiempo se está ejecutando hacia adelante.
$y [n] = \sum_{m} x [m] h [n - m]$ $y[n] = \sum_m x[m]h[n-m]$ $h[\cdot]$ $-m$ $h$ $x[m]$

Esto es realmente una preocupación legítima, pero en realidad la fórmula de convolución tiene mucho éxito en ocultar el resultado de que la salida es la suma de versiones escaladas y con retraso de tiempo de la respuesta al impulso. Lo que está sucediendo es lo siguiente.

Desglosamos la señal de entrada en una suma de señales de pulso de unidad escalada. La respuesta del sistema a la señal de pulso de la unidad es la respuesta de impulso o la respuesta de pulso y así, mediante la propiedad de escala, el valor de entrada único o, si prefiere crea una respuesta $x$ $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$

h [0], h [1], \dots, h [n], \dots

$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$

x [0]

$x[0]$

x [0] (\dots, 0, 0, 1, 0, 0, \dots) = \dots 0, 0, x [0], 0, 0, \dots

$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$

x [0] h [0], x [0] h [1], \dots, x [0] h [n], \dots

$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$

Del mismo modo, el valor de entrada único o crea crea una respuesta Observe el retraso en la respuesta a . Podemos continuar más en este sentido, pero es mejor cambiar a una forma más tabular y mostrar las distintas salidas alineadas correctamente en el tiempo. Tenemos $x[1]$

x [1] (\dots, 0, 0, 0, 1, 0, \dots) = \dots 0, 0, 0, x [1], 0, \dots

$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$

0, x [1] h [0], x [1] h [1], \dots, x [1] h [n - 1], x [1] h [n] \dots

$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$

x [1]

$x[1]$

\begin{array}{llllllll} time \to & 0 & 1 & 2 & \dots & n & n + 1 & \dots \\ x [0] & x [0] h [0] & x [0] h [1] & x [0] h [2] & \dots & x [0] h [n] & x [0] h [n + 1] & \dots \\ x [1] & 0 & x [1] h [0] & x [1] h [1] & \dots & x [1] h [n - 1] & x [1] h [n] & \dots \\ x [2] & 0 & 0 & x [2] h [0] & \dots & x [2] h [n - 2] & x [2] h [n - 1] & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x [m] & 0 & 0 & 0 & \dots & x [m] h [n - m] & x [m] h [n - m + 1] & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}

$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$ \ ddots \ end {array} Las filas en la matriz anterior son precisamente las versiones escaladas y retardadas de la respuesta al impulso que se suman a la respuesta a la señal de entrada . $y$ $x$ Pero si haces una pregunta más específica como

¿Cuál es la salida en el tiempo ? $n$

entonces se puede obtener la respuesta sumando los columna -ésima para obtener la querida fórmula de convolución que confunde a generaciones de estudiantes porque la respuesta al impulso parece estar retrocediendo en el tiempo. $n$

y [n] = x [0] h [n] + x [1] h [n - 1] + x [2] h [n - 2] + \dots + x [m] h [n - m] + \dots = \sum_{m = 0}^{\infty} x [m] h [n - m],

$y[n] = x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m],$

— Dilip Sarwate
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Esta es una publicación anterior av; sin embargo, ¿sería capaz de demostrar la supuesta distinción entre additivityy scaling?

— javadba

Ese punto es lo que estoy preguntando. Dice persuadirse a sí mismo , y dado que la aditividad y la escala son características de los sistemas lineales, todavía no estoy persuadido.

— javadba

¿La dicotomía entre aditividad y escalamiento se debe a la naturaleza discreta? es decir, la aditividad no implica la ampliación de números enteros positivos?

— javadba

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Si consideramos una señal discreta, digamos

x [n] = {1,5,3}, que tiene tres impulsos en n = 0, 1 y 2 con amplitud 1, 5 y 3.

ahora podemos escribir

x [n] = 1 * + 5 * + 5 * $\delta[n]$ $\delta[n-1]$ $\delta[n-2]$

o lo generalizamos,

x [n] = $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]\delta(n-k)$

Para el sistema invariante de tiempo lineal sabemos que,

para una entrada dada, x [n] = , una respuesta del sistema como h [n], salida = $x[m]\delta[n-m]$ $y_m[n]$ $x[m]h[n-m]$

Por lo tanto, usando la propiedad conmutativa,

y [n] = = $\sum^{\infty}_{-\infty} y_k[n]$ $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]h[n-k]$

— hari
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