¿Cómo puedo descomponer una señal en ondas cuadradas?

Estoy tratando con señales que son una superposición de diferentes ondas cuadradas con diferentes amplitudes y fases. Normalmente, uno descompondría una señal en ondas sinusoidales con la ayuda de la transformada de Fourier, pero en este caso particular, una descomposición en ondas cuadradas sería mucho más efectiva. Una transformada de Fourier produciría un espectro muy complicado, mientras que una descomposición de onda cuadrada debería dar solo unas pocas líneas claras.

Sé que tal descomposición es posible. De hecho, podría usar cualquier función periódica como base para la descomposición y esto se menciona en muchos textos sobre el tema. Pero nunca pude encontrar una fórmula o un ejemplo explícito para una descomposición en una base no sinusoidal.

Mi enfoque para descomponer una señal que consiste en las muestras , fue usar una fórmula similar a DFT donde es una onda cuadrada de valor real con una frecuencia veces la frecuencia base. Pero esto ciertamente no está completo, ya que no obtengo ninguna información de fase para las ondas cuadradas constituyentes, y no pude invertir el procedimiento. $N$ $x_k$

{tu}_{k} = \sum_{norte = 0 0}^{norte - 1} X_{norte} R_{k} (norte)

$u_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, \mathcal{R}_k(n)$

R_{k}

$\mathcal{R}_k$

k

$k$

¿Cómo puedo descomponer mis señales en ondas cuadradas con amplitud y fase bien definidas?

— Centinela
fuente

una descomposición seria comenzaría por encontrar (o definir) una base de N vectores de señal, que abarcaría el espacio del vector de señal de su interés. Luego, utilizaría una medida de producto interno para calcular los coeficientes de esas descomposiciones de señal en términos de vectores base.

— Fat32

Fat32 tiene razón: desea estar seguro de que las señales que le interesan están abarcadas por el conjunto de ondas cuadradas que ha elegido. En general, también querrás que la base sea ortonormal.

— MBaz

"Pero esto ciertamente no está completo, ya que no obtengo ninguna información de fase para las ondas cuadradas constituyentes": en una transformada de Fourier para una sola frecuencia se necesitan dos coeficientes reales (o uno complejo), el primero es el resultado de la convolución con un coseno y el segundo con un seno (que es solo un coseno desplazado ). Así que supongo que para los cuadrados y para un período determinado también necesita descomponerse en una onda cuadrada desplazada .

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}{2}$

T

$T$

\frac{T}{2}

$\frac{T}{2}$

— agemO

Lo que se describe en la pregunta está muy cerca de la Transformación de Wavelet Discreta (DWT) con el uso de la Halet Wavelet .

El DWT descompone una señal en una suma de funciones ortogonales dilatadas y traducidas que no necesariamente tienen que ser trigonométricas . El DWT no transforma una señal del dominio del tiempo a un dominio de frecuencia, sino a un espacio de escala donde se preserva la dimensión "tiempo". La wavelet de Haar es efectivamente solo un período de una onda cuadrada y debido a su dilatación y replicación a medida que avanza la transformación, parecería que ocurre en diferentes frecuencias. Para obtener más información sobre el enlace entre el nivel de descomposición y la frecuencia, consulte este enlace

Otra transformación que podría ser útil aquí, es la transformación de Walsh-Hadamard que hace exactamente eso, descomponer una señal en una suma de formas de onda cuadradas que son ortogonales (tenga en cuenta la secuencia allí también).

Para ver un breve ejemplo que parece estar cerca de lo que busca, consulte este enlace

Espero que esto ayude.

— AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO
fuente

¡Voto por Walsh!

— rrogers