¿Por qué es importante una fase lineal?

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Si se cumplen las condiciones de simetría, los filtros FIR tienen una fase lineal. Esto no es cierto para los filtros IIR.

Sin embargo, ¿para qué aplicaciones es malo aplicar filtros que no tienen esta propiedad y cuál sería el efecto negativo?

filters filter-design fir

— El niño de feromonas
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Un filtro de fase lineal preservará la forma de onda de la señal o componente de la señal de entrada (en la medida de lo posible, dado que algunas frecuencias cambiarán en amplitud por la acción del filtro).

Esto podría ser importante en varios dominios:

procesamiento coherente de señal y demodulación , donde la forma de onda es importante porque se debe tomar una decisión de umbral sobre la forma de onda (posiblemente en un espacio en cuadratura y con muchos umbrales, por ejemplo, modulación QAM 128), para decidir si una señal recibida representa un "1 "o" 0 ". Por lo tanto, preservar o recuperar la forma de onda transmitida originalmente es de suma importancia, de lo contrario se tomarán decisiones de umbral incorrectas, lo que representaría un pequeño error en el sistema de comunicaciones.
procesamiento de señal de radar , donde la forma de onda de una señal de radar devuelta puede contener información importante sobre las propiedades del objetivo
procesamiento de audio , donde algunos creen (aunque muchos discuten la importancia) que "alinear el tiempo" con los diferentes componentes de una forma de onda compleja es importante para reproducir o mantener cualidades sutiles de la experiencia auditiva (como la "imagen estéreo" y similares)

— AndyW
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(He realizado pruebas de audición ABX y pude distinguir entre el crossover simulado de Linkwitz-Riley de octavo orden y el sin. Los sonidos impulsivos se vuelven "chirpy" ya que las frecuencias altas llegan un poco antes que las bajas. Así que el # 3 no es totalmente exagerado.)

— endolito

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No hace falta decir que la propiedad de preservación de la forma de onda solo es aplicable para señales de banda estrecha ... De lo contrario (para señales generales de banda ancha) el filtro (ya sea de fase lineal o no) cambiará la forma de la señal tanto como la respuesta al impulso concuerda con la señal. .

— Fat32

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Permítanme agregar el siguiente gráfico a las excelentes respuestas ya dadas.

Cuando un filtro tiene fase lineal , todas las frecuencias dentro de esa señal se retrasarán la misma cantidad de tiempo (como se describe matemáticamente en la respuesta de Fat32).

Cualquier señal puede descomponerse (a través de la serie Fourier) en componentes de frecuencia separados. Cuando la señal se retrasa a través de cualquier canal (como un filtro), siempre que todos esos componentes de frecuencia se retrasen la misma cantidad, la misma señal (señal de interés, dentro de la banda de paso del canal) se recreará después del retraso .

Considere una onda cuadrada, que a través de la expansión de la serie de Fourier se muestra compuesta de un número infinito de frecuencias armónicas impares.

En el gráfico de arriba muestro la suma de los primeros tres componentes. Si todos estos componentes se retrasan la misma cantidad, la forma de onda de interés está intacta cuando se suman estos componentes. Sin embargo, se producirá una distorsión significativa del retraso del grupo si cada componente de frecuencia se retrasa en una cantidad diferente en el tiempo.

Lo siguiente puede ayudar a dar una visión intuitiva adicional para aquellos con algo de RF o antecedentes analógicos.

Considere una línea ideal de retardo de banda ancha sin pérdida (como la aproximada por una longitud de cable coaxial), que puede pasar señales de banda ancha sin distorsión.

La función de transferencia de dicho cable se muestra en el gráfico a continuación, que tiene una magnitud de 1 para todas las frecuencias y una fase que aumenta negativamente en proporción lineal directa a la frecuencia. Cuanto más largo es el cable, más pronunciada es la pendiente de la fase, pero en todos los casos "fase lineal".

Esto tiene sentido; el retraso de fase de la señal de 1 Hz que pasa a través de un cable con un retraso de 1 segundo será de 360 °, mientras que una señal de 2 Hz con el mismo retraso será de 720 °, etc.

Llevando esto de vuelta al mundo digital, $z^{-1}$ es la transformación z de un retardo de muestra 1 (por lo tanto, una línea de retardo), con una respuesta de frecuencia similar a la que se muestra, solo en términos de H (z); una magnitud constante = 1 y una fase que va linealmente de $0$ a $-2\pi$ de f = 0 Hz a f = fs (la frecuencia de muestreo).

La explicación matemática más simple es que una fase que es lineal con la frecuencia y un retraso constante son pares de transformadas de Fourier. Esta es la propiedad de cambio de la Transformada de Fourier. Un retardo de tiempo constante en el tiempo de $\tau$ segundos da como resultado una fase lineal en frecuencia $-\omega \tau$ , donde es el eje de frecuencia angular en radianes / seg: $\omega$

F {sol (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} sol (t - τ) {mi}^{j ω t} re t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

tu = t - τ

$u = t - \tau$

F {sol (tu)} = \int_{- \infty}^{\infty} sol (tu) {mi}^{- j ω (tu + τ)} re tu

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= {mi}^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} sol (tu) {mi}^{- j ω tu} re tu

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= {mi}^{- j ω τ} sol (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Dan Boschen
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Dan, tu gráfico de cara feliz y triste me hizo reír a carcajadas por lo simplemente informativo que es. ¡Bien hecho!

— Oreo

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Solo para agregar a lo que ya se ha dicho, puede ver esto intuitivamente mirando la siguiente sinusoide con frecuencia monotónicamente creciente.

Desplazar esta señal hacia la derecha o hacia la izquierda cambiará su fase. Pero tenga en cuenta también que el cambio de fase será mayor para las frecuencias más altas y más pequeño para las frecuencias más bajas. O, en otras palabras, la fase aumenta linealmente con la frecuencia. Por lo tanto, un cambio de tiempo constante corresponde a un cambio de fase lineal en el dominio de frecuencia.

— orodbhen
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La mejor respuesta imo.

— Felix Crazzolara

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τ (ω) = - \frac{re ϕ (ω)}{re ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Entonces, ¿cuál es el efecto de un filtro con fase no lineal (o retraso de grupo dependiente de la frecuencia) en la señal de entrada? Un ejemplo simple sería una señal de entrada complicada considerada como una suma de múltiples paquetes de ondas en diferentes frecuencias centrales. Después del filtrado, cada paquete con una frecuencia central particular se desplazará (retrasará) de manera diferente debido al retraso del grupo dependiente de la frecuencia. Y esto dará como resultado un cambio en el orden de tiempo (u orden de espacio) de esos paquetes de ondas, a veces drásticamente, dependiendo de cuán no lineal sea la fase, que se llama dispersiónen terminal de comunicaciones. No solo la forma de onda compuesta, sino también algunas órdenes de eventos pueden perderse. Este tipo de canales dispersivos tienen efectos graves, como ISI (interferencia entre símbolos) en los datos transmitidos.

Esta propiedad de los filtros de fase lineal, por lo tanto, también se conoce como propiedad de preservación de la forma de onda , que es aplicable a las señales de banda estrecha en particular. Un ejemplo donde la forma de onda es importante, aparte del ISI como se mencionó anteriormente, es en el procesamiento de imágenes, donde la información de la fase de transformación de Fourier es de suma importancia en comparación con la magnitud de la transformación de Fourier, para la inteligibilidad de la imagen. Sin embargo, no se puede decir lo mismo de la percepción de las señales de sonido debido a un tipo diferente de sensibilidad del oído al estímulo.

— Grasa32
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¿Qué significa la fase lineal generalizada en este contexto?

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@ 0MW Supongo que significa que el cambio de fase constante también está permitido, como en la transformación de Hilbert .

— Olli Niemitalo

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La respuesta a esta pregunta ya se ha explicado claramente en las respuestas anteriores. Sin embargo, deseo intentar presentar una interpretación matemática de la misma.

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

un r sol (H (w)) = K w

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

y (t) = El | H (w) El | * {mi}^{j w_{0 0} t + j K w_{0 0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= El | H (w) El | * {mi}^{j w_{0 0} (t + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Entonces, si la fase es lineal, entonces todos los componentes de frecuencia de la señal sufrirán la misma demora en el dominio del tiempo, lo que resulta en la preservación de la forma.

— SakSath
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Solo pondré un resumen de estas excelentes respuestas mencionadas anteriormente:

desplazar la señal en el dominio del tiempo dará como resultado un desplazamiento de fase proporcional a la frecuencia, por lo que f (t + dt) sería F (f) e (j2πfdt)
Cuando un filtro con una respuesta de fase de línea, todas las frecuencias de la señal de entrada a este filtro se desplazarán con la misma cantidad en el dominio del tiempo, por lo que esto permitirá la recreación de la señal de entrada.

— Youssef Rafaat
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