¿Por qué el sistema LTI no puede generar nuevas frecuencias?

9

¿Por qué implica que un sistema LTI no puede generar ninguna frecuencia nueva? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
¿Por qué si un sistema genera nuevas frecuencias, entonces no es LTI?

convolution time-frequency

— USUARIO
fuente

15

Una de las características definitivas de los sistemas LTI es que no pueden generar ninguna frecuencia nueva que aún no esté presente en sus entradas. Tenga en cuenta que en este contexto una frecuencia se refiere a señales del tipo o que son de duración infinita , y también se conocen como funciones propias de LTI sistemas (específicamente solo para el exponencial complejo) y cuyas transformadas CT Fourier se expresan mediante funciones de impulso en el dominio de frecuencia como o $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ respectivamente.

Una forma de ver por qué esto es así, es observando la CTFT, , de la salida , que viene dada por la conocida relación solo cuando el sistema es LTI (y también es estable de hecho para que exista). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(es decir, mantiene solo cuando la respuesta al impulso existe y existirá solo cuando el sistema es LTI).

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (τ) h (t - τ) re τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

A partir de un pequeño pensamiento, guiado por una gráfica simple, y utilizando la propiedad de multiplicación anterior, se puede ver que la región de frecuencia de soporte (conjunto de frecuencias para las cuales no es cero), de la salida viene dado por la intersección de las regiones de soporte y de las entradas y la respuesta de frecuencia del sistema LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{X} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

Y del conjunto de álgebra sabemos que si entonces y . Es decir, una intersección siempre es menor o equivalente a lo que se intersecta. Por lo tanto, la región de soporte para será menor o como máximo igual al soporte de . Por lo tanto, no se observarán nuevas frecuencias en la salida. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Dado que esta propiedad es una condición necesaria para ser un sistema LTI , cualquier sistema que no lo posea, por lo tanto, no puede ser LTI.

— Grasa32
fuente

9

Puede hacer un argumento algebraico simple, dada la premisa que proporcionó. Si:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

donde es el espectro de la señal de entrada y ) es la respuesta de frecuencia del sistema, entonces es obvio que si hay algo de en la señal de entrada para la cual , entonces también; no hay factor que pueda multiplicar para obtener un valor distinto de cero. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Dicho esto, establecer la verdad de la premisa con la que comencé anteriormente para los sistemas LTI requiere algo de trabajo. Sin embargo, si suponemos que es cierto, entonces el hecho de que un sistema LTI no puede introducir ningún componente de frecuencia nuevo a su salida se deduce directamente.

— Jason R
fuente

la prueba sería mostrar que para cualquier señal suficientemente bien comportada, la Transformada de Fourier es invertible y tanto el FT como su inverso son lineales. Cada señal con una frecuencia se comporta suficientemente bien.

— Marcus Müller

3

¿Por qué implica que un sistema LTI no puede generar frecuencias nuevas? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Si una determinada frecuencia no está presente en nuestra entrada, . Como 0 obedece a la identidad multiplicativa , . Por lo tanto, la frecuencia no está presente en la señal de salida. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

¿Por qué si un sistema genera nuevas frecuencias, entonces no es LTI?

Digamos que nuestra entrada es . Entonces, si suponemos que nuestro sistema puede generar nuevas frecuencias, es posible obtener la salida . Como no podemos encontrar las constantes modo que , nuestro sistema no es LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Scott
fuente

¿No es para comprobar LTI solo c1 usado, y no también c2?

— USUARIO

1

Yo diría que el primer punto, que es esencialmente que no se puede obtener algo distinto de cero multiplicando cero por nada, esa es la respuesta concisa.

— robert bristow-johnson

c1 se usa para linealidad, c2 se usa para desplazamiento de tiempo. Podríamos tener un sistema LTI que retrase todo en 1 unidad de tiempo.

— Scott

1

Un sistema LTI está diagonalizado por frecuencias puras . Los senos / cosenos son vectores propios del sistema lineal. En otras palabras, cualquier entrada de seno o coseno (o un cisoide complejo) distinto de cero tiene una salida de seno o coseno de la misma frecuencia exactamente (pero la amplitud de salida puede desaparecer).

Lo único que puede cambiar es su amplitud o su fase. Por lo tanto, si no tiene seno con una frecuencia dada en la entrada, no obtendrá nada (cero) con esa frecuencia en la salida.

La segunda pregunta se responde mediante contraposición o regla falsa: si es verdadero, también lo es . Si un sistema es LTI, no genera nuevas frecuencias. Si un sistema genera nuevas frecuencias, no es LTI. $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
fuente