Cómo construir un cambiador de fase con desplazamiento de fase arbitrario

Fred, un ingeniero DSP, va a su tienda DSP favorita para hacer algunas compras.

Fred: Hola, me gustaría comprar un cambiador de fase.

Ayudante de tienda: Hmm, ¿qué quieres decir exactamente?

Fred: Bueno, ya sabes, si pones una sinusoide como obtienes en la salida, para cualquier . Y, por supuesto, debe ser ajustable.y ( t ) = sin ( ω 0 t - θ ) ω 0$x(t)=\sin(\omega_0t)$$y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$$\omega_0$$\theta$

Asistente de tienda: Oh, ya veo. Lo siento, no, no tenemos esos. Pero recuerdo que otros muchachos necesitaban lo mismo, y siempre compran un transformador Hilbert, un par de multiplicadores y un sumador, y de alguna manera conectan todas estas cosas para hacer un cambiador de fase ajustable.

Fred: Oh si, cierto!

Fred finge entender de qué está hablando el tipo. Por supuesto que no tiene idea de cómo hacerlo. Compra todo lo que el tipo dijo que necesitaba y piensa por sí mismo que podría resolverlo en casa o, si todo lo demás falla, podría preguntarlo en DSP.SE.

¿Cómo puede Fred construir un cambiador de fase con desplazamiento de fase ajustable usando los componentes que obtuvo en la tienda?$\theta$

¡Buena pregunta! Utiliza una de mis identidades trigonométricas favoritas (que también se puede usar para mostrar que la modulación en cuadratura es en realidad amplitud y modulación de fase simultáneas).

La transformación de Hilbert de es . Además, (limitado a ), con . Esto sugiere un posible enfoque. Digamos que Fred necesita radianes. Calcula . Luego, necesita encontrar y modo que y , con y , que es un problema de álgebra simple. Establezca , ,- cos ( 2 π f 0 t ) sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sin ( 2 π f 0 t ) + b cos ( 2 π f 0 t ) a 2 + b 2 = 1 θ = atan2 ( b $\sin(2\pi f_0t)$$-\cos(2\pi f_0t)$

$$\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$$ $a^2+b^2=1$$\theta=\text{atan2}(b,a)$$\theta=2.1$$\tan(2.1)\approx-1.71$$a$$b$$a^2+b^2=1$$b/a=-1.71$$a<0$$b>0$$a_0=-1$$b_0=1.71$$n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ , , y . Entonces, Fred puede generar fácilmente una sinusoidal con la fase deseada mediante el uso de un transformador de Hilbert, dos multiplicadores, dos fuentes de CC (un juego para voltios y el otro a voltios, para cuidar de la señal del coseno), y Una víbora.$a=a_0/n$$b=b_0/n$$a$$-b$

La respuesta al impulso del sistema descrito anteriormente está dada por:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Diagrama de bloques:

La respuesta de MBaz es correcta. Solo me gustaría agregar otra forma de pensar al respecto, por supuesto, conduciendo al mismo resultado:

Un desplazador de fase ideal con desplazamiento de fase tiene una respuesta de frecuencia que puede reescribirse como El ojo entrenado identificará como la respuesta de frecuencia de un transformador de Hilbert ideal. La respuesta de impulso correspondiente es . En consecuencia, la respuesta al impulso del desplazador de fase ideal es que se puede implementar como conexión paralela ponderada de un transformador Hilbert y un trozo de cable con pesas$\theta$

$$H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$$ $$H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)$g(t)=\frac{1}{\pi t}$ sin(θ)cos(θ $$h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$$ $\sin(\theta)$ y , respectivamente.$\cos(\theta)$

Tenga en cuenta que este sistema se puede aproximar bastante bien en una implementación práctica (tiempo discreto). Simplemente tome un transformador Hilbert de fase lineal FIR bien diseñado de longitud , y agregue un retraso de muestras a la otra ruta de señal.$2N+1$$N$