¿Por qué funcionan los filtros digitales?

Así que recién comencé a leer en los filtros FIR y IIR y estoy asombrado de lo "simple" que parece la teoría, hasta ahora.

• Pero lo que me confunde es, ¿por qué el filtrado funciona creando una suma ponderada de muestras anteriores?

• ¿Qué intuición hace pensar que esto puede producir los efectos de filtrado deseados?

• Me parece un poco poco intuitivo aunque cualquiera pueda verificar que la suma de las señales retrasadas juntas produce un filtrado de peine. ¿Pero deseable filtrado? ¿Por qué?

Considere una señal de entrada de tiempo discreto de la forma:

donde la frecuencia de radianes $\omega_0$ se establece entre 0 y $\pi$ radianes por muestra.

Ahora, considere dos tipos más simples de filtros LTI FIR de tiempo discreto (digital) que se definen a través de las operaciones aritméticas fundamentales de suma y resta de sus muestras de entrada y luego producen las salidas$y_1[n]$ y $y_2[n]$ de acuerdo a:

Hagamos un análisis cualitativo de estos filtros configurando la frecuencia de su señal de entrada $\omega_0$a bajo (cerca de$0$) y alto (cerca de$\pi$) valores, y luego observar las salidas correspondientes $y_1[n]$ y $y_2[n]$ respectivamente;

Primero, asuma que $\omega_0$está configurado en bajas frecuencias. Luego las muestras de entrada consecutivas$x[n]$ y $x[n-1]$tendrá valores muy similares , ya que una onda sinusoidal de baja frecuencia no cambiará mucho de una muestra a otra. Cuando este es el caso, su suma se sumará , mientras que su diferencia se cancelará . Por lo tanto$y_1[n]$ será aproximadamente igual al valor de la entrada $x[n]$, mientras que la salida $y_2[n]$estará cerca de cero debido a la cancelación. La primera parte del análisis cualitativo concluye que el primer filtro,$y_1[n]$, pasa las señales de baja frecuencia mientras el segundo filtro, $y_2[n]$ los atenúa

Suponga para la segunda parte del análisis que $\omega_0$está configurado para frecuencias altas ; entonces los valores de las muestras de entrada$x[n]$ y $x[n-1]$tendrá polaridades opuestas , ya que el coseno cambiará rápidamente de una muestra a otra. Cuando este es el caso, su suma se cancelará , mientras que su diferencia se sumará . Por lo tanto$y_1[n]$ será aproximadamente cero, mientras que la salida $y_2[n]$ será similar a su entrada $x[n]$. La segunda parte del análisis concluye que el primer filtro,$y_1[n]$, detiene las señales de alta frecuencia mientras el segundo filtro, $y_2[n]$, los pasa.

Combinando estos dos análisis cualitativos, concluimos que el primer filtro $y_1[n] = 0.5 (x[n]+x[n-1])$es un filtro de paso bajo, que pasa las frecuencias bajas y atenúa las frecuencias altas, mientras que el segundo filtro$y_2[n] = 0.5(x[n]-x[n-1])$es un filtro de paso alto, que atenúa las frecuencias bajas y pasa las frecuencias altas.

En esta configuración, se realizan filtros más complejos mediante el uso de más muestras a partir de retrasos más lentos que se ponderan en consecuencia. Las frecuencias de corte de la banda de paso y de la banda de detención, el ancho de banda de transición y las ondas están determinadas por los pesos aplicados a las muestras de suma (o diferencia) y el número de muestras (longitud del filtro) utilizadas en las sumas (o diferencias).

Esos pesos se llaman entonces como los coeficientes del filtro (o su respuesta al impulso$h[n]$ para el filtro FIR) que caracteriza el filtro.

Probablemente ya haya usado mucho el filtrado. ¡Una media móvil es un filtro!

Piense en el filtrado general como la realización de un promedio móvil elegante en el que, en lugar de promediar cada componente en una ventana por igual, pondera los componentes.

Si solo quisiera suavizar la señal, podría ponderar cada valor utilizado en el promedio por una curva gaussiana (campana), por ejemplo. Este es un filtro de paso bajo.

Si desea aislar una frecuencia particular, puede ponderar cada valor alternativamente positivo y negativo en la misma frecuencia.

Creo que está buscando la intuición de por qué obtiene un cierto comportamiento en el dominio de la frecuencia al calcular una suma ponderada de muestras de entrada. Como saben, la señal de salida de una longitud causal$N$ El filtro FIR está dado por

dónde $h[n]$ son los coeficientes del filtro (derivaciones) o, de manera equivalente, la respuesta al impulso de longitud finita del filtro, y $x[n]$ es la señal de entrada

Ahora deja $x[n]=e^{j\omega_0n}$, es decir, un exponencial complejo en frecuencia $\omega_0$. La señal de salida correspondiente es

dónde

es la respuesta de frecuencia del filtro, evaluada en$\omega=\omega_0$. Es igual a la transformada de Fourier de tiempo discreto de la respuesta al impulso$h[n]$.

Eq. $(2)$ muestra cómo un componente de frecuencia de entrada a frecuencia $\omega_0$aparece en la salida. Su amplitud se escala por$|H(\omega_0)|$, y su fase se desplaza por $\arg\{H(\omega_0)\}$. Como ejemplo, puedes elegir los coeficientes$h[n]$ tal que $H(\omega_0)=0$ para cierta frecuencia $\omega_0$. En este caso, el componente suprime la frecuencia correspondiente en la señal de entrada por el filtro. Esto es lo que hacen los filtros de muesca.

Eq. $(2)$explica el comportamiento del dominio de frecuencia de un filtro de tiempo discreto. Puede aproximar cualquier respuesta de frecuencia deseada$D(\omega)$ por $H(\omega)$ eligiendo los coeficientes $h[n]$de manera apropiada Este es el tema de la teoría de la aproximación o, más específicamente, el diseño (dominio de frecuencia) de los filtros digitales. Eche un vistazo a esta respuesta para obtener una breve descripción del diseño del filtro digital y algunas referencias.

A las respuestas útiles que se han agregado hasta ahora, me gustaría agregar, en el punto de la intuición, que el filtrado funciona porque se basa en la teoría de las ondas y, específicamente, en la interacción de las ondas. Esto proporciona una gran variedad de ejemplos intuitivos.

Pero también, que hay básicamente dos puntos de vista. Uno es el punto de vista abstracto, tomado modelando la realidad y luego trabajando con los modelos, y el otro es la realidad "física". Es decir, lo que realmente está sucediendo en la naturaleza.

Por ejemplo, en realidad, el sonido de una fuente rebota en una pared y vuelve a los oídos de los oyentes. Esta es la realidad. La realidad del "modelado" es decir que el muro es solo un detalle. Lo que está sucediendo es que hay otra fuente, en un lugar bien definido DETRÁS de la pared que reproduce el sonido de la fuente. Este modelo simple permite estudiar las reflexiones como la adición de ondas ... Pero no hay nada al otro lado de la pared.

$y=a \times cos(\omega t + \phi)$Es un oscilador. Si saliera de un generador de funciones, encima de un banco, podríamos decir que$y$ corresponde al jack de la salida, $a$ es el dial de amplitud, $\omega$ es el dial de frecuencia y $\phi$Es el dial de fase. Entonces, cada uno de nuestros símbolos abstractos tiene un significado físico. Podemos jugar con el dial de frecuencia e inmediatamente se vuelve accesible para nosotros, se convierte en parte de nuestra experiencia.

¿Podemos jugar con eso? $h$que Matt L está hablando en su respuesta más arriba? ¿Cuál es la correspondencia física de$h$? ¿Qué está pasando realmente en la realidad? Que es$h$?

$h$Es muchas cosas maravillosas. Un cuarto es un$h$. Un largo túnel bajo un puente es un$h$. El ambiente es un$h$. Un piano es un$h$(en general, los resonadores de instrumentos). El océano es un$h$. Un trozo de alambre es un$h$. Un amplificador de guitarra es un$h$.

Imagínese en lo que llamamos espacio libre . El espacio libre es un espacio tan grande que su voz se cae, no resuena en absoluto. Es un sentimiento muy extraño. Para darse cuenta de lo que realmente significa "plano", debe encontrarse en una tienda que vende telas (o una cámara sin eco ... la tienda de telas es más fácil). Toda la mercancía absorbe el sonido tanto que obtienes una sensación de aislamiento total y sin ningún sentido de dirección.

Pero de todos modos, estamos en espacio libre y tenemos ese generador de funciones en un altavoz en algún lugar frente a nosotros. Encenderlo. Escuchas el sonido cristalino de un silbato. El altavoz pone el aire en movimiento vibratorio y eventualmente las ondas llegan a nuestros oídos.

Ahora traemos una hoja plana de granito. Es una gran lámina de granito sobre ruedas y podemos colocarla en cualquier lugar que queramos, colocarla en algún lugar detrás de nosotros y observar que cuando nos movemos en una ubicación específica entre el altavoz y la lámina de granito, el sonido se reduce en amplitud, hasta que desaparece por completo ¿Por qué está pasando esto? Debido a que los picos de las ondas que produce el altavoz frente a nosotros, se combinan (perfectamente) con los canales de las ondas que produce el altavoz fantasma detrás de nosotros (o en realidad, el hecho de que las mismas ondas del altavoz rebotan) de la lámina de granito y recombinar. Por cierto, debido a la física de este rebote, donde sea que tenga un reflejo, la fase de la señal reflejada se voltea). Por lo tanto, donde el altavoz frontal crea algo de presión, el altavoz trasero (el reflejo) crea cierta "succión" y el aire efectivamente no se mueve.

¿Qué tiene esto que ver con $h$?

Comencemos con un "vacío" $h$. No, no todos son ceros, se ve así$h= [1,0,0,0,0,0,0,0]$. La señal que golpea los oídos es$z=y * h$. los$*$aquí denota la convolución de Matt. La respuesta de L arriba. Con este$h$, $z$ es idéntico a $y$. Estos somos nosotros en el espacio libre. Ahora traemos los detalles de la hoja de granito. ¿Cómo cambia esto?$h$?

Podría ser algo como esto $h=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0]$. Lo que representa 1 rebote algún tiempo después de la onda directa inmediata que llega a nuestros oídos. Si la distancia entre los dos$1$s corresponde a la mitad de una longitud de onda de la frecuencia de nuestro generador, $z$será cero Otras longitudes de onda se cancelarán proporcionalmente.

Entonces ... Podemos tallar el espectro armónico de $z$... mediante la colocación cuidadosa de ecos en $h$...

Ahora, olvídate de la gravedad. Flotamos en el espacio libre (no en el espacio exterior) y traemos láminas de granito, láminas de madera contrachapada, láminas de madera contrachapada cubiertas de tela, láminas de tela muy gruesa, yeso, vidrio, etc. y podemos colocarlas de la manera que queramos . Debido a los diferentes materiales, el "perfil de eco" que estamos esculpiendo efectivamente tendrá diferentes amplitudes. Entonces tus$h$ terminará siendo algo así como $h=[1.0,0,0,0,0,-0.6,0,0.1,-0.05,0,0,0,0,0]$.

¿Esto realmente sucede en la realidad? ¡Si! Cada vez que experimentas el sonido en una hermosa sala de conciertos, alguien se ha sentado allí durante horas tratando de esculpir la habitación.$h$de manera que sus reflexiones no dar a la gente un dolor de cabeza o se puede oír lo que dice el orador . Y puede ver las herramientas de escultura a su alrededor, hay trampas para bajos , difusores , simplemente paneles colgando del techo, cortinas, cada una de ellas correspondiente a uno o más coeficientes en$h$. De hecho, el$h$ comenzaba a esculpirse ya que el arquitecto especificó la forma del espacio.

¿Podemos "obtener" el $h$de una habitación? Ciertamente, vaya a su sala de estar, infle un globo y déjelo en algún lugar cerca de su televisor, coloque un micrófono en algún lugar cerca del sofá y pellizque el globo para que explote. ¿Lo que pasa? Una perturbación atmosférica aguda ( un pulso unitario ) viaja a través del espacio, golpea el micrófono pero también rebota en paredes y objetos y golpea el micrófono más tarde. Ahí lo tienes, un$h$que cuando está involucrado con la señal "plana" de su televisor simularía lo que realmente escucha en su sala de estar. Ahora, repita el mismo experimento en el baño (cubierto de azulejos, firma diferente), o un búnker largo en Escocia .

Habitaciones diferentes, diferentes $h$, diferente experiencia auditiva . Experiencia auditiva diferente en el largo paso subterráneo de adoquines, experiencia auditiva diferente en la tienda de telas.

Es una tormenta eléctrica. Ves el cerrojo (ese es tu primer$1$) y luego escuchas un retumbar (ecos posteriores del arco eléctrico). Eso es$h$que lleva información sobre el paisaje y la atmósfera que nos rodea a medida que la perturbación atmosférica causada por el arco de rayos viaja en el espacio y rebota. Sin embargo, se necesita el estallido de más de un globo para verlo. Tocas la nota de un piano, la onda viaja a lo largo de la cuerda, rebota en su extremo y regresa, también viaja a través del cuerpo de madera del piano y regresa. Diferentes materiales para las cuerdas y el cuerpo, diferentes$h$, piano diferente

Ate una bombilla a un ladrillo , tírela por la borda y regístrela estallando en profundidad (desde este sitio ). Eso es$h$ del océano debajo del bote, transmite información sobre cómo se propaga el sonido.

¿Qué tienen en común todos estos fenómenos? ¡Olas! Ondas mecánicas, de hecho, en el caso del sonido y las formas en que interactúan. Y en realidad, es solo una aproximación lo suficientemente buena. Hay muchos fenómenos no lineales interesantes (o este ) que tienen lugar en el mar y en el aire y ciertamente en circuitos electrónicos (realidad, en general) que se agrupan en este modelo simple de sinusoides interactuantes y donde esta representación de La realidad se rompería .

Finalmente, tenga en cuenta que en la realidad de "modelado" (desde el punto de vista matemático) la integral de convolución es una forma de resolver ecuaciones diferenciales (modelos de sistemas) y también tiene otras aplicaciones (consulte las tres últimas en esta lista ) .

Una forma intuitiva de mirar un filtro FIR es como una especie de función de coincidencia en ejecución. Una suma ponderada de muestras muestra cuánto se parece la entrada a un valor de "coincidencia" inherente a los pesos.

Un filtro de paso de banda se parece a un trozo de alguna forma de onda a la frecuencia que desea que pase el filtro. Una buena coincidencia de un segmento de aproximadamente la misma frecuencia de señal de entrada genera un valor positivo alto. Cambie esa entrada 90 grados, y la coincidencia es ortogonal, o casi, por lo que el filtro genera un valor bajo. Cambie otros 90 grados, y la forma de onda de la señal ahora parece ser aproximadamente la inversa de la forma de onda FIR, por lo que el filtro genera un valor negativo. Esta alternancia de positivo a negativo produce una forma de onda de salida que se parece un poco a la forma de onda de entrada si es una buena coincidencia en alguna fase y una coincidencia opuesta en otras fases. Otras formas de onda de entrada, como DC, o una frecuencia mucho más alta, no coincidirán tan bien, por lo que producirán valores de salida más bajos.

Un filtro FIR de promedio móvil o de paso bajo tiene muchos pesos iguales o casi iguales, por lo que saldrá a un nivel más alto cuando la entrada no oscile con valores positivos y negativos alrededor de DC, lo que cancelará, al menos parcialmente, cuando se suma después de casi la misma ponderación.

Mientras que un núcleo de filtro FIR que alterna cada peso, o casi, se cancelará dada una entrada de CC, pero coincidirá mejor con las entradas de frecuencia más altas y, por lo tanto, generará más entrada dada que se parece menos a CC, por ejemplo, un filtro de paso alto.

Dado que FIR se filtra como proceso LTI, el "lineal" en LTI significa que puede sumar múltiples "tipos de coincidencia" para crear una combinación lineal de respuestas de frecuencia, que es una especie de por qué el FT inverso de una respuesta de frecuencia produce una respuesta de impulso que se puede usar para el filtrado FIR con aproximadamente la respuesta de frecuencia deseada.

Algunas funciones, como el seno y el coseno, pueden aproximarse estrechamente mediante una breve recursión. Un filtro IIR puede considerarse simplemente como una combinación de un generador de función de recursión corta que genera alguna forma de onda de "coincidencia" similar a un filtro FIR, además de hacer simultáneamente el proceso de coincidencia anterior al mismo tiempo.