¿Cuál es la diferencia entre la respuesta natural y la respuesta de entrada cero?

Soy nuevo en DSP y estaba pasando por diferentes respuestas de un sistema sujeto a una entrada. Mi comprensión de la respuesta de entrada cero es: es la respuesta / salida del sistema cuando la señal de entrada se establece en cero. En otras palabras, si un sistema se describe mediante una ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal, la respuesta de entrada cero es la solución homogénea.

Sin embargo, si la de la entrada es una función racional y la de la función del sistema LTI es y el sistema se relaja inicialmente , luego . Suponiendo ceros distintos (solo reales) y polos (solo reales) de y entonces $\mathcal Z$ $X(z)=N(z)/Q(z)$ $H(z)=B(z)/A(z)$ $Y(z)= H(z)X(z) = N(z)B(z)/A(z)Q(z)$ $X(z)$ $H(z)$

Y (z) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{A_{k}}{1 - p_{k} z^{- 1}} + \sum_{k = 1}^{L} \frac{Q_{k}}{1 - q_{k} z^{- 1}}

$Y(z) = \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1-p_kz^{-1}} + \sum_{k=1}^L \frac{Q_k}{1-q_kz^{-1}}$

lo que da

y (n) = \sum_{k = 1}^{N} A_{k} (p_{k})^{n} u (n) + \sum_{k = 1}^{L} Q_{k} (q_{k})^{n} u (n)

$y(n) = \sum_{k=1}^N A_k(p_k)^{n}u(n) + \sum_{k=1}^L Q_k(q_k)^{n}u(n)$

donde y son los polos del sistema y la señal de entrada respectivamente y es la función de paso unitario. Ahora el primer término se conoce como la respuesta natural del sistema . Es muy confuso comprender la diferencia entre la entrada cero y la respuesta natural. $p_k$ $q_k$ $H(z)$ $X(z)$ $u(n)$ $H(z)$

Editar: La referencia de la pregunta es reservar DSP: Principios, algoritmos y aplicaciones de John Proakis y D Manolakis. El pdf del libro está aquí, página 203 y 204. Los dos párrafos después de la fórmula 3.6.4 explican la diferencia entre la respuesta de entrada cero. y respuesta natural

Gracias Peter y Matt por sus respuestas y comentarios.

— imagen_rotación
fuente

Creo que la autorregresión (ver "C. Sistemas invariables en el tiempo") también se usa para el mismo concepto.

— Valentin Tihomirov

Respuestas:

En primer lugar, es importante darse cuenta de que muchos autores utilizan los términos de entrada cero respuesta y la respuesta natural como sinónimos. Esta convención se usa en el artículo de Wikipedia correspondiente y, por ejemplo, también en este libro . Incluso Proakis y Manolakis no lo tienen del todo claro. En el libro que citó puede encontrar la siguiente oración en la página 97:

[...] la salida del sistema con entrada cero se llama respuesta de entrada cero o respuesta natural .

Esto sugiere que los dos términos se pueden usar indistintamente. Más abajo en la página, encontramos la siguiente oración:

Por lo tanto, la respuesta de entrada cero es una característica del sistema en sí, y también se conoce como la respuesta natural o libre del sistema.

Nuevamente, esto sugiere fuertemente que los autores creen que ambos términos son equivalentes.

Sin embargo, en las páginas que mencionó parecen hacer una diferencia entre los dos. Y la diferencia es la siguiente. La respuesta de entrada cero es la respuesta causada por condiciones iniciales distintas de cero. Solo depende de las propiedades del sistema y de los valores de las condiciones iniciales. La respuesta de entrada cero se convierte en cero si las condiciones iniciales son cero.

La respuesta natural es la parte de la respuesta total cuya forma solo está determinada por los polos del sistema y que no depende de los polos de la señal de entrada (transformación de la). La respuesta natural depende de la señal de entrada en términos de constantes, pero su forma está completamente determinada por los polos del sistema. A diferencia de la respuesta de entrada cero, la respuesta natural no desaparece en condiciones iniciales cero.

La respuesta total del sistema se puede escribir como las dos sumas siguientes:

respuesta de entrada cero + respuesta de estado cero
respuesta natural + respuesta forzada

La respuesta de estado cero es la respuesta para condiciones iniciales cero, y la respuesta forzada es la parte de la respuesta cuya forma está determinada por la forma de la señal de entrada.

Espero que esto quede claro en el siguiente ejemplo. Investiguemos el siguiente sistema:

\begin{matrix} (1) & y [n] + a y [n - 1] = b^{n} u [n], y [- 1] = c \end{matrix}

$y[n]+ay[n-1]=b^nu[n],\qquad y[-1]=c\tag{1}$

donde es la secuencia de pasos unitarios. La respuesta total se puede calcular usando las técnicas de transformación : $u[n]$ $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (2) & y [n] = [\frac{1}{a + b} b^{n + 1} + (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1}] u [n] \end{matrix}

$y[n]=\left[\frac{1}{a+b}b^{n+1}+\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}\right]u[n]\tag{2}$

La respuesta de entrada cero es la parte de la respuesta total que está determinada por la condición inicial y que no depende de : $b$

\begin{matrix} (3) & y_{Z I} [n] = c (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_{ZI}[n]=c(-a)^{n+1}u[n]\tag{3}$

Obviamente, para , es decir, para la condición inicial cero. $y_{ZI}[n]=0$ $c=y[-1]=0$

La respuesta natural es la parte de la respuesta total cuya forma está determinada por el polo del sistema:

\begin{matrix} (4) & y_{N} [n] = (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_N[n]=\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}u[n]\tag{4}$

Tenga en cuenta que depende de las condiciones iniciales, así como de la señal de entrada (a través de la constante ). $b$

También tenga en cuenta que es la forma de la respuesta de estado cero que depende de los polos del sistema, así como de los polos de la transformación de señal de entrada. Todas las otras respuestas mencionadas aquí solo dependen de uno de los dos conjuntos de polos. Las formas de la respuesta de entrada cero y de la respuesta natural dependen solo de los polos del sistema, mientras que la forma de la respuesta forzada está determinada por los polos de la señal de entrada. La expresión para $y[n]$ en su pregunta de Proakis y Manolakis se cita la respuesta de estado cero (porque el sistema está inicialmente en reposo), y la primera suma es la respuesta forzada, y la segunda suma es la respuesta natural. Como la respuesta de entrada cero es cero en este caso, la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada (es decir, la respuesta total) es igual a la respuesta de estado cero

En términos matemáticos, la respuesta natural es la solución homogénea de la ecuación de diferencia, donde las constantes se determinan de modo que la suma de la solución particular (la respuesta forzada) y la solución homogénea satisfagan la condición inicial dada. Claramente, la respuesta de entrada cerotambién es una solución a la ecuación homogénea, pero la diferencia con la respuesta natural es que la respuesta de entrada cero por sí sola satisface las condiciones iniciales, porque se combina con la respuesta de estado cero, que supone condiciones iniciales cero. Por otro lado, la respuesta natural por sí sola no satisface las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales se satisfacen solo combinando la respuesta natural con la solución particular de la ecuación de diferencia (siendo esta última la respuesta forzada ).

Como se mencionó anteriormente, podemos escribir la solución total como

y [n] = y_{Z I} [n] + y_{Z S} [n]

$y[n]=y_{ZI}[n]+y_{ZS}[n]$

(respuesta de entrada cero más respuesta de estado cero)

y como

y [n] = y_{N} [n] + y_{F} [n]

$y[n]=y_N[n]+y_F[n]$

(respuesta natural más respuesta forzada). Para el ejemplo dado, tenemos

y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[-1]=y[-1]$

es decir, es que se encarga de la condición inicial. Esa es también la razón por la cual si la condición inicial es cero. debe satisfacer la ecuación homogénea $y_{ZI}[n]$ $y_{ZI}[n]=0$ $y_{ZI}[n]$

y_{Z I} [n] + a y_{Z I} [n - 1] = 0, y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[n]+ay_{ZI}[n-1]=0,\qquad y_{ZI}[-1]=y[-1]$

Entonces, si , para todo . La respuesta natural también satisface la ecuación homogénea, pero no con la condición inicial . Lo que está satisfecho es $y[-1]=0$ $y_{ZI}[n]=0$ $n$ $y_N[-1]=y[-1]$ $y_N[-1]+y_F[-1]=y[-1]$ . Esta es la razón por la cual la respuesta natural generalmente no es cero, incluso para condiciones iniciales cero. Y la respuesta natural es la solución homogénea que necesitamos combinar con la solución particular (respuesta forzada) que se encuentra en la forma estándar. Por lo general, no tenemos medios directos para encontrar la solución particular específica que, cuando se combina con la solución especial homogénea representada por la respuesta de entrada cero, dará la solución completa de la ecuación de diferencia. Para esto necesitamos otra solución homogénea, y esta es la respuesta natural.

Una vez más, usar el ejemplo anterior con suerte aclarará esto. Para una señal de fuerza exponencial, la forma estándar (y más directa) de obtener una solución particular es elegir una versión a escala de la función de fuerza:

\begin{matrix} (A1) & y_{p} [n] = A b^{n} \end{matrix}

$y_p[n]=Ab^n\tag{A1}$

(en aras de la simplicidad, omito el paso unitario , suponiendo que consideremos , a menos que hablemos de la condición inicial). La constante se determina conectando en la ecuación de diferencia: $u[n]$ $n\ge 0$ $A$ $(A1)$

A b^{n} + a A b^{n - 1} = b^{n}

$Ab^n+aAb^{n-1}=b^n$

dando . La forma general de la solución homogénea es $A=\frac{b}{a+b}$

\begin{matrix} (A2) & y_{h} [n] = B (- a)^{n} \end{matrix}

$y_h[n]=B(-a)^n\tag{A2}$

Por supuesto, (es decir, ) es una solución específica, pero esa no es la que estamos buscando. Necesitamos determinar la constante de tal manera que la suma de la solución particular y la solución homogénea satisfaga la condición inicial: $y_h[n]=0$ $B=0$ $B$

y [- 1] = y_{p} [- 1] + y_{h} [- 1] = \frac{A}{b} - \frac{B}{a}

$y[-1]=y_p[-1]+y_h[-1]=\frac{A}{b}-\frac{B}{a}$

De esta ecuación obtenemos

B = \frac{a}{a + b} - a y [- 1]

$B=\frac{a}{a+b}-ay[-1]$

lo que muestra que la solución homogénea que necesitamos no es cero si . y encontrados de esta manera son idénticos a la respuesta forzada y la respuesta natural, respectivamente, como se muestra en y - implícitamente - en . $y[-1]=0$ $y_p[n]$ $y_h[n]$ $(4)$ $(2)$

— Matt L.
fuente

Bien, ahora que he tenido la oportunidad de leerlo un poco (¡no solo en dispositivos móviles!), Esto es lo que creo que está sucediendo.

Tenemos una ecuación de diferencia de coeficiente lineal constante:

y [n] + \sum_{k = 1}^{N} α_{k} y [n - k] = \sum_{m = 0}^{M} β_{m} x [n - m]

$y[n] + \sum_{k=1}^N \alpha_k y[n-k] = \sum_{m=0}^M \beta_m x[n-m]$

y deseamos encontrar la para una dada . $y$ $x$

En general, la solución comprenderá dos componentes: donde es la solución particular e es la solución homogénea. $Y$

y = y_{p} + y_{h}

$y = y_p + y_h$

y_{p}

$y_p$

y_{h}

$y_h$

La solución particular se obtiene al establecer la entrada del sistema en . La solución homogénea se obtiene estableciendo la entrada del sistema en 0 (cero) y seleccionando una condición inicial arbitraria para el estado del sistema . $x$

Lo que suponen Proakis y Manolakis es que el estado inicial del sistema es cero (justo por encima de la ecuación 3.6.2, y como ha resaltado en su pregunta).

Así que esa es la diferencia entre la solución de entrada cero (y estado cero) y la solución de entrada cero (y estado arbitrario u homogéneo): lo que selecciona las condiciones iniciales. La solución homogénea requiere condiciones iniciales arbitrarias, de lo contrario cada solución homogénea sería . $y_h = 0$

— Peter K.
fuente

Si su última oración implica que la solución de un LCCDE está completamente caracterizada por su solución particular si las condiciones iniciales son cero (porque entonces, usted dice, ), entonces diría que está mal. Creo que se refiere al hecho de que una ecuación de diferencia homogénea necesita una condición inicial distinta de cero para "comenzar", pero eso es algo diferente. En general, la solución es con , incluso si las condiciones iniciales son cero.

y_{h} = 0

$y_h=0$

y_{p} + y_{h}

$y_p+y_h$

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$

— Matt L.

@MattL. ¿Me puede dar un ejemplo donde las condiciones iniciales y la función de forzado sean cero y para las cuales NO sea una solución válida? Entiendo su punto, simplemente no puedo pensar en cómo encontrar una solución homogénea no trivial sin asumir condiciones iniciales arbitrarias, que obviamente incluye cero.

y_{h} = 0

$y_h = 0$

— Peter K.

Si tiene una ecuación de diferencia homogénea con cero condiciones iniciales (y con ), entonces tiene razón. Pero mi punto es este: si desea una solución para una ecuación de diferencia con la función de forzamiento, y la descompone como entonces no es correcto decir que si las condiciones iniciales son cero. Toma el ejemplo de mi respuesta. La solución homogénea está dada por la ecuación. (4), y no es cero incluso si . La razón es que la condición inicial es satisfecha por combinado con , incluso si esas condiciones son cero. Entonces , incluso si

y_{p} = 0

$y_p=0$

y = y_{p} + y_{h}

$y=y_p+y_h$

y_{h} = 0

$y_h=0$

y [- 1] = c = 0

$y[-1]=c=0$

y_{h}

$y_h$

y_{p}

$y_p$

y_{h} [- 1] \neq 0

$y_h[-1]\neq 0$

y [- 1] = 0

$y[-1]=0$

— Matt L.

@MattL. Mi punto es que tiene una "solución homogénea" perfectamente válida si asume cero condiciones iniciales. Debe asumir condiciones iniciales distintas de cero para encontrar lo que ha escrito (la verdadera solución homogénea).

y [n] + a y [n - 1] = 0

$y[n] + ay[n-1] = 0$

y_{h} [n] = 0, \forall n

$y_h[n] = 0, \forall n$

— Peter K.

Por supuesto que estoy de acuerdo con tu ejemplo; Este tipo de ejemplo es a lo que me referí en la primera oración de mi comentario anterior (el caso donde

y_{p} = 0

$y_p=0$ ). Pero también tiene una solución homogénea si la función de forzado no es cero. En estos casos

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ , incluso para cero condiciones iniciales. Y pensé que la última oración en tu respuesta dice lo contrario, al menos así lo entiendo. En resumen, generalmente tienes

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ incluso con cero condiciones iniciales (si

y_{p} \neq 0

$y_p\neq 0$ )

— Matt L.

Sin usar ecuaciones.
Miras un circuito que involucra R y C (como un ejemplo simple). Existe una FUENTE DE VOLTAJE DE ENTRADA aplicada. Hay un VOLTAJE INICIAL aplicado al condensador.

Vas a SOLUCIONAR para una corriente o un voltaje usando 2 DIBUJOS. Y haga un seguimiento de ambos valores calculados para hacer la respuesta final.

[1er dibujo] Dibuja el circuito (sin incluir la FUENTE DE VOLTAJE DE ENTRADA), pero usando las CONDICIONES INICIALES, y pregunta: ¿cómo se escapa y se disipa el voltaje en el capacitor? Esa es la respuesta NATURAL del circuito. Estás escribiendo la ecuación V DESCARGA y encontrando la constante de tiempo DESCARGA. Esa es la RESPUESTA NATURAL del circuito (la ENTRADA CERO: lo que significa NO FUENTE DE VOLTAJE DE ENTRADA APLICADA, sino SÍ condiciones iniciales). Guarde este valor de corriente o voltaje de "parte 1".

[2º dibujo] Ahora desea calcular la RESPUESTA FORZADA. NO INCLUYA LAS CONDICIONES INICIALES. Simplemente dibuje la FUENTE DE VOLTAJE DE ENTRADA y los componentes del circuito, y "ENCUENTRE LA RESPUESTA". Guarde este valor de corriente o voltaje de "parte 2"; Este resultado (ignorando las CONDICIONES INICIALES) es la RESPUESTA FORZADA.

La RESPUESTA FINAL es: cuál es la suma de la corriente que calculó a partir de la RESPUESTA NATURAL, y la corriente que calculó a partir de la RESPUESTA FORZADA. O bien, ¿cuál es la suma del voltaje que calculó a partir de la RESPUESTA NATURAL y el voltaje que calculó a partir de la RESPUESTA FORZADA? Gracias. Cesar 25 de febrero de 2020 desde el área de General Bravo.

— Cesar
fuente