Muestreo de una función continua: ¿el delta de Kronecker o Dirac?

He estado leyendo algunos documentos sobre el procesamiento de señales y estoy muy confundido sobre el tema en el título de mi pregunta. Considere una función continua de tiempo , , que muestra que a veces desiguales , donde . Para mí, tiene sentido que la función muestreada sea: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ donde eseldeltade Kronecker(igual a cuando , cero en otra parte). Sin embargo,en este artículo, el autor define la señal muestreada como:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

donde

es la función delta de Dirac y realmente no entiendo por qué el

aparece aquí (el autor afirma que la función de muestreo es en realidad una suma ponderada de funciones delta

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

y aquí elige

. Realmente no entendí por qué). Esta última afirmación no tiene mucho sentido para mí: ¡la señal muestreada tendría una amplitud infinita en

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
fuente

El modelado del proceso de muestreo a través de la multiplicación de una señal de tiempo continuo por un tren de impulsos de Dirac es la interpretación más común en mi experiencia. Si profundiza en ello lo suficiente, encontrará cierto desacuerdo sobre la precisión matemática de este enfoque *, pero no me preocuparía; Es solo un modelo conveniente para el proceso. No hay generadores de impulsos dentro del ADC de su teléfono celular que generen descargas periódicas de rayos que multipliquen sus entradas analógicas.

Como notó, no puede calcular la transformación de Fourier de tiempo continuo de la función delta de Kronecker, ya que su dominio no es continuo (se limita a los enteros). La función delta de Dirac, por el contrario, tiene una transformada de Fourier simple, y el efecto de multiplicar una señal por un tren de impulsos de Dirac es fácil de mostrar debido a su propiedad de tamizado.

*: Como ejemplo, si vas a ser matemáticamente preciso, dirías que el delta de Dirac no es una función, sino una distribución . Pero a nivel de ingeniería, estos problemas son realmente solo semánticos.

Editar: abordaré el comentario a continuación. Usted dio su modelo mental del proceso de muestreo como:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

lo cual no es correcto En cambio, el modelo para la señal muestreada es:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

que es exactamente la definición de la transformada de Fourier en tiempo discreto .

— Jason R
fuente

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$