Diseño de filtro de cambio de fase

Si una señal en el dominio del tiempo tiene esquinas agudas, su espectro de frecuencia contendrá componentes de alta frecuencia. Truncar los resultados del espectro en el fenómeno de Gibbs. Entonces, si está tratando de diseñar un FIR, realmente desea que la respuesta de frecuencia objetivo sea agradable y suave, de modo que la respuesta de impulso a una longitud finita no distorsione demasiado la respuesta de frecuencia.

Actualmente estoy contemplando tratar de diseñar un filtro muy extraño: uno que tenga ganancia unitaria en todas las frecuencias, pero no en fase cero . Me pregunto si ocurre o no un fenómeno similar: si el filtro tiene ganancia unitaria en todas las frecuencias, entonces, ¿qué hace truncar la respuesta de impulso a la alineación de fase?

filter-design

— Orquídea matemática
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Solo una nota al margen: este tipo de filtro se llama filtro de paso completo. Un filtro de Hilbert es un ejemplo práctico del mismo.

— Deve

En realidad, este no es un tipo de filtro "muy extraño". Si está diseñando un nuevo filtro allpass, ¿por qué estaría truncando su respuesta de impulso? Puede calcular la respuesta exacta de un filtro digital (hasta su precisión numérica) en tiempo de diseño.

— Jason R

Truncar el espectro provoca un zumbido, no el fenómeno de Gibbs. Esas son cosas diferentes.

— Phonon

@Phonon, no veo cómo el efecto es diferente. Independientemente de qué dominio (tiempo / frecuencia) ocurra una discontinuidad de salto, el otro dominio experimenta un efecto infinitamente largo.

— Mark Borgerding

@MarkBorgerding Lo que estás diciendo es absolutamente correcto, pero ese no es el fenómeno de Gibbs. El fenómeno de Gibbs se refiere a un pico de un solo punto en la forma de onda en la discontinuidad cuando la serie de Fourier "converge" a una forma de onda rect, lo que significa que el rect no va de a , sino de a a 0.

1

$1$

0

$0$

1

$1$

k > 1

$k>1$

— Phonon

Respuestas:

Este sería un filtro allpass. Excepto en el caso trivial de la unidad y los retrasos de la muestra de enteros, estos no se pueden hacer como filtros FIR y, en general, se requiere un filtro IIR. Sin embargo, son fáciles de hacer. Los ceros de un allpass son simplemente los inversos de los polos (y viceversa). Si tiene los polos en forma polinómica, simplemente puede voltearlos para obtener los polinomios cero. Por ejemplo, un allpass de segundo orden tiene este aspecto El filtro de paso estricto tiene

H (z) = \frac{a_{2} \cdot z^{0} + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{0} \cdot z^{- 2}}{a_{0} \cdot z^{0} + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{2} \cdot z^{- 2}}

$H(z)=\frac{a_{2}\cdot z^{0} + a_{1}\cdot z^{-1} + a_{0}\cdot z^{-2}}{a_{0}\cdot z^{0} + a_{1}\cdot z^{-1} + a_{2}\cdot z^{-2}}$

‖ H (e^{j \cdot ω}) ‖ = 1

$\left \|H(e^{j\cdot \omega })\right \|=1$ para todas las frecuencias Ciertamente, puede diseñar una aproximación utilizando filtros FIR si solo necesita esta propiedad para un rango de frecuencia limitado y si la magnitud no tiene que ser exactamente la unidad.

— Hilmar
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Tiene el mismo efecto: la ventana con una ventana rectangular en un dominio (tiempo o frecuencia) es equivalente a convolucionarse con una función Sinc infinitamente larga en el otro dominio (es decir, el fenómeno de Gibb).

Por lo tanto, si desea cambios de fase específicos en N puntos de frecuencia de su filtro de paso completo, generalmente terminará con un FIR varias veces más largo que N toques.

— Mark Borgerding
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Entonces, para optimizar la máxima suavidad de fase, ¿quiero elegir un diseño objetivo sin cambios bruscos? (¿Y presumiblemente periódico?)

— MathematicalOrchid