determinar dos señales con un factor de escala

Supongamos que tengo 2 señales de la función y$f_1(x)$$f_2(x)$, respectivamente, y supongamos que la frecuencia de muestreo está por encima de la frecuencia de Nyquist, por lo que podemos restaurar las funciones subyacentes $f_1(x)$ y $f_2(x)$. Pero mi pregunta es, a partir de las 2 señales, cómo saber si las funciones subyacentes$f_2(x)$ se escala desde $f_1(x)$, es decir, para determinar si $f_2(x)=f_1(ax)$, dónde $a$ es un número real distinto de cero.

¡Gracias!

Condiciones necesarias (pero no suficientes) para $f_2$ ser una versión temporalmente escalada de $f_1$ es que una representación espectral con una escala de frecuencia logarítmica (como la transformación Q constante) de $f_1$ es una traducción de una representación espectral de frecuencia logarítmica de $f_2$.

Prácticamente, dadas dos señales, puede realizar la prueba y evaluar $a$ calculando el CQT de $f_1$ y $f_2$, correlacionándolos y observando la ubicación del pico. La fuerza del pico podría darle una idea de la similitud espectral de las dos señales, independientemente de su escala temporal; y la posición del pico le dará el factor de escala temporal.

Este tipo de representación robusta a escala temporal es útil en el modelado de señales musicales, donde las diferentes notas producidas por un instrumento musical son, en una aproximación muy aproximada, versiones temporalmente escaladas de sí mismos.

La transformación de Mellin también se puede usar para determinar tales señales, porque "la magnitud de la transformación de Mellin de una función escalada es idéntica a la magnitud de la función original. Esta propiedad de invariancia de escala es análoga a la propiedad de invariancia de cambio de la Transformada de Fourier. La magnitud de una transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo es idéntica a la función original ". (citado de wikipedia)