Ancho de banda relativo y longitud de onda de una portadora

Esto vino de una pregunta de tarea, que he resuelto. Solo necesito alguna aclaración.

Se me pide que determine el ancho de banda en una cantidad dada de espectro a una longitud de onda dada. Para encontrar esto, lo sé;

$$\delta_f = \frac{c\cdot \delta_\lambda}{\lambda^2}$$

dónde $\delta_f$ es el ancho de banda $\delta_\lambda$ es la cantidad de espectro $\lambda$ es la longitud de onda portadora dada, y $c$ la velocidad de la luz.

Eso está muy bien, pero no puedo encontrar ninguna razón por la cual esta fórmula funciona o de dónde proviene. ¿De dónde viene esta fórmula, o cómo se llama o cómo se deriva?

La pregunta dice lo siguiente;

¿Cuánto ancho de banda hay en $0.1 \textrm{ micron}$ de espectro a una longitud de onda de $1 \textrm{ micron}$?

Intentaré derivar tu fórmula. La fórmula que le dieron no es técnicamente correcta, pero en un nivel práctico sí lo es. Trataré de explicar a continuación.

La fórmula para la frecuencia de cualquier onda (sonido, agua, luz, etc.) es $f = \frac{\nu}{\lambda}$, dónde $\lambda$ es la longitud de onda y $\nu$es la velocidad de la ola. Esto tiene sentido intuitivo si lo piensa porque verá más picos cuanto más rápido viaje la onda, y verá menos picos cuanto más larga sea la longitud de onda. En su caso, por supuesto, la velocidad de la onda es$c$.

El ancho de banda es la frecuencia más alta menos la frecuencia más baja.

$$\begin{align} B &= f_h - f_l \\ &= \frac{c}{\lambda_l} - \frac{c}{\lambda_h} \\ &= \frac{c}{\lambda - \frac{\Delta\lambda}{2}} - \frac{c}{\lambda + \frac{\Delta\lambda}{2}} \end{align}$$ En este punto para facilitar un poco la escritura, llamaré $\frac{\Delta\lambda}{2}$ "$d$". $$\begin{align} B &= \frac{c}{\lambda - d} - \frac{c}{\lambda + d} \\ &= \frac{c(\lambda + d) - c(\lambda - d)}{(\lambda - d)(\lambda + d)} \\ &= \frac{2cd}{\lambda^2 - d^2} \\ &= \frac{c\Delta\lambda}{\lambda^2 - \frac{\Delta\lambda^2}{4}} \end{align}$$ La fórmula que le dieron es, como cuestión práctica, correcta, porque generalmente $\Delta\lambda$ es mucho más pequeño que $\lambda$. En tu caso$\Delta\lambda$ es 1/10 de $\lambda$, que en realidad es mucho más grande que cualquier situación normal. Generalmente$\Delta\lambda$ es un orden de magnitud menor que $\lambda$. Incluso a 1/10, sin embargo,$\frac{\Delta\lambda^2}{4}$ es $\frac{\lambda^2}{400}$, lo cual es insignificante. Por lo tanto, se cae.

Espero que esto ayude.

La fórmula que le dieron se deriva de lo siguiente:

f = c / lambda ... llamaré lambda = l

La derivada de f con respecto a l:

df / dl = -c / l ^ 2

Implica que df = -c * dl / l ^ 2 El signo menos puede omitirse ya que solo estamos interesados ​​en el valor absoluto de la frecuencia de variación de frecuencia.