Es

Es $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ una señal periódica?

La respuesta proporcionada por el libro es diferente de mi respuesta. El libro dice que no es una señal periódica. ¿Pueden decirme por qué no es una señal periódica?

Mi respuesta:

$\cos(t)$ es periódico como $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ también es periódico como $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

Por lo tanto $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ es un número racional

Por lo tanto lo dado $x(t)$ Es una señal periódica.

periodic

— Pranav Peethambaran
fuente

¿Qué libro dice eso?

— Matt L.

Pranav: ¡Bienvenido a DSP.SE! Ha formulado una pregunta de tarea / autoaprendizaje exactamente de la manera correcta: hizo la pregunta, dejó en claro que es una pregunta de libro de texto que está tratando de responder y mostró cuál cree que es la respuesta (o se muestra tanto como tú entiendes). ¡Bien hecho!

— Peter K.

Los errores tipográficos, por no mencionar los errores directos, no se desconocen en el Manual de soluciones o las "respuestas a problemas con números impares" que se incluyen en los libros de texto porque, si bien un profesor podría haber escrito el texto y leerlo cuidadosamente, el Manual de soluciones y las respuestas a los ejercicios son elaboradas por asistentes de estudiantes de posgrado acosados y no revisadas tan cuidadosamente por el profesor. Esto no quiere decir que el profesor esté exento de responsabilidad por los errores, sino solo una explicación de por qué no se debe confiar en la "respuesta del libro" como la verdad del evangelio en todos los casos.

— Dilip Sarwate

Gracias amigos por aclarar mi duda. Ustedes son los mejores! Muchas gracias :) Era del libro del instituto de entrenamiento, uno de los problemas de práctica. :)

— Pranav Peethambaran

SE.DSP le desea un feliz año nuevo 2017, con una amable señal de recordatorio de que su pregunta o sus respuestas pueden requerir alguna acción (actualización, votos, aceptación, etc.)

— Laurent Duval

Respuestas:

Como para cada $t_0\in\mathbb{R}$ y $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$ tu respuesta es correcta:

x (t)

$x(t)$ es periódica

— Deve
fuente

Para agregar una respuesta contraria: Si su índice de tiempo, $t$ , es un número entero, entonces su señal no es periódica.

La definición de periódico es: $x[t]$ , $t\in\mathbb{Z}$ es periódica con período $P\in \mathbb{Z}$ iff

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Así que necesitamos

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$ así que para la periodicidad requerimos

P = 2 π k

$P = 2\pi k$ con

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$ .

Ya que $\pi$ es irracional, ese no puede ser el caso.

Por lo tanto, el primer componente de su señal no puede ser periódico, por lo que toda la señal no puede ser periódica.

— Peter K.
fuente

No hay necesidad de que P sea entero, por lo que cos (t) = cos (t + P). Para cualquier t cos (t) = cos (t + 2π), porque cos (t + 2π) = sin (t) * sin (2π) + cos (t) * cos (2π) = sin (t) * 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg

¡Agradable! pero si el libro sigue la convención que

x (t)

$x(t)$ denota una señal de tiempo continuo y

x [t]

$x[t]$ denota una señal de tiempo discreto con

t

$t$ tomando solo valores enteros, entonces no se aplica ...

— Dilip Sarwate

@Stoleg: No,

P

$P$ debe ser un número entero en este caso. Porque el índice de

x

$x$ debe ser un número entero para señales de tiempo discretas. De otra manera

x [t + P]

$x[t+P]$ es indefinido.

— Peter K.

@LaurentDuval: ¡Gracias! Sí, la señal de tiempo continuo es definitivamente periódica

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$ , para

t \in R

$t\in\mathbb{R}$ y

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$ . Y, como usted dice, la versión muestreada (versión de tiempo discreto) no es periódica, pero la versión reconstruida es (siempre que hayamos muestreado lo suficientemente rápido ... aunque tal vez una versión alias + reconstruida también puede ser periódica ... hmmm. )

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

Las fórmulas de doble ángulo para las identidades trigonométricas le dicen que $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ .

Así tienes $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ . Por lo tanto, su señal está compuesta de funciones (como sumar y multiplicar) que todos admiten $4\pi$ como un punto (sí, la función constante $x\to 1$ es $4\pi$ periódico también).

Por lo tanto, su función se ve muy periódica.

— Laurent Duval
fuente