¿Es apropiado ICA para separar señales mixtas cuando todas las señales fuente NO son detectables en todos los sensores?

Una implementación genérica de ICA para la separación de una mezcla de señales en sus componentes constituyentes requiere que se asuma que las señales son una mezcla instantánea lineal de las fuentes. Cada descripción de ICA que he encontrado parece dar por sentado el hecho de que todas las fuentes están presentes hasta cierto punto en todas las mezclas de señales M M $N$$M$$M$$N$

Mi pregunta es, ¿qué pasa si las fuentes solo están presentes en algunas pero no en todas las mezclas de señales? $M$

¿Viola este escenario los supuestos fundamentales necesarios para que ICA pueda separar estas señales? (Supongamos, en aras de la argumentación, que estamos tratando con un sistema sobrecompleto o completo ( o ), y que cada una de las señales de fuente son, de hecho, estadísticamente independientes entre sí).N = M $N>M$$N=M$$M$

La implementación para la que estoy considerando usar ICA, en la que surge esta situación, es la siguiente: tengo datos de 4 tipos diferentes de sensores, cada uno con un número diferente de canales. Específicamente, tengo 24 canales de datos EEG, 3 canales de datos electrooculográficos (EOG), 4 canales de datos EMG y 1 canal de datos ECG. Todos los datos se registran simultáneamente.

Me gustaría identificar las contribuciones de las señales de ECG, EMG y EOG dentro de los datos de EEG para poder eliminarlas. La expectativa es que los sensores de EEG capten las señales EMG + ECG + EOG, pero no al revés. Además, EOG y EMG probablemente se contaminarán entre sí y estarán contaminados por el ECG, pero el ECG probablemente estará bastante aislado de todas las demás señales. Además, supongo que donde se produce la mezcla, es lineal e instantánea.

Mi intuición me dice que, hipotéticamente, ICA debería ser lo suficientemente inteligente como para devolver filtros de mezcla con coeficientes muy pequeños (cercanos a 0) para explicar la falta de contribución de las fuentes a una señal mixta. Pero me preocupa que algo sobre la forma en que ICA desmezcla las señales inherentemente hace cumplir la expectativa de que todas las fuentes estarán presentes en todas las mezclas. La implementación que estoy usando es FastICA, que es un enfoque basado en la búsqueda de proyección.

Debería estar bien, los ceros en la matriz de mezcla no son un problema ... y, en teoría, debería converger incluso más rápido que si todas las fuentes existieran en todos los sensores.

"Mi pregunta es, ¿qué pasa si las fuentes M solo están presentes en algunas pero no en todas las mezclas de señales?"

Esto es lo mismo que decir que en su matriz de mezcla tendrá algunos ceros. Cuando M = N, no creo que importe si solo te aseguras de que la matriz de mezcla no sea singular. Sin embargo, no estoy 100% seguro. Pero podría hacer un simple experimento de juguete de 3 por 3 con uno o más ceros en la matriz de mezcla para obtener algo práctico. Si lees en FastICA, apuesto a que encontrarás en los requisitos colocados en la matriz de mezcla que tiene que ser no singular.

Tu intuición está bien.

$x$$s$$x$$s$$\tilde{s}$

$$x=c_ss+\tilde{s}$$ $c_s$$s$$x$

$$x_s = w_xx+w_ss = w_x(c_ss+\tilde{s})+w_ss = w_x\tilde{s}+ks$$ $k=(w_xc_s+w_s)$$s$$x$$c_s$$\left[\begin{array}{c} x\\ x_s \end{array}\right]$

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & c_s\\ w_x & k \end{array}\right], \; S = \left[\begin{array}{c} \tilde{s} \\ s \end{array}\right]$$

$c_p$