Campos de matemática necesarios para el diseño de filtros digitales.

Quiero aprender diseño de filtros digitales. Mi conocimiento de matemáticas está en el nivel secundario. Puedo aprender matemáticas a través de Internet. Entonces, ¿qué campos de matemáticas tengo que aprender?

Si tienes las bolas para aprender matemáticas solo. Los dos campos de las Matemáticas que debes dominar para hacer el diseño del filtro son: Análisis funcional y optimización convexa. Casi todos los diseños de filtros son el resultado de un problema de optimización, como: Encuentre este conjunto de números manera que el valor absoluto de la transformada de Fourier en esta región de frecuencia tenga la siguiente forma (entre estos dos límites cuando la frecuencia es de 0Hz a 320Hz, y entre estos otros dos cuando la frecuencia es mayor que 340Hz). O, ¿cuál es el conjunto de N números de modo que cuando se aplica la convolución discreta de la secuencia de los números a esta señal x ( n ) , el resultado es esta señal y ( $N$$N$$x(n)$ . Y hay muchas otras formas de definirlos.$y(n)$

Y necesitará un análisis funcional para comprender cómo modelar una señal, cómo modelar un sistema y cómo modelar las interacciones y operaciones entre señales (transformaciones, convoluciones, etc.).

Espero eso ayude.

Para empezar:

Números complejos

La respuesta de frecuencia de un filtro es más fácil de entender con valores complejos, describiendo tanto la respuesta de frecuencia de magnitud como la respuesta de frecuencia de fase. Podrá comprender polos y ceros, que pueden ser complejos. Los números complejos le permiten tener frecuencias negativas, lo que simplificará las matemáticas.

Trigonometría

$\sin$$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Diferenciación

Para encontrar a qué frecuencia un filtro simple alcanza su punto máximo o mínimo, puede resolver a qué frecuencia la derivada de su respuesta de frecuencia de magnitud es cero.

Integración

La integración es necesaria para la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier.

Transformada de Fourier

La transformación de Fourier le permite pasar de una respuesta de impulso a una respuesta de frecuencia y viceversa. Además, las cosas que haces en el dominio del tiempo a menudo tienen una contraparte simple en el dominio de la frecuencia, y viceversa.

@George Theodosiou: en lugar de sumergirte en todo tipo de materias matemáticas de alto poder (solo una parte de las cuales te serán útiles), te sugiero que comiences leyendo un libro decente para principiantes en DSP. Tales como los populares libros "Comprender el procesamiento digital de señales" o "La guía del científico y del ingeniero para el procesamiento digital de señales". Esos libros alimentan al lector, lenta y suavemente, con las matemáticas necesarias para comenzar a estudiar DSP. Luego, cuando encuentre alguna ecuación en esos libros que lo desconcierte, puede ir a la web y aprender las matemáticas de esa ecuación en particular con más profundidad.

George, si tu deseo de aprender el filtrado digital es sincero y retienes tu entusiasmo, entonces tendrás éxito. Para citar a Susan B. Anthony, "el fracaso es imposible". Buena suerte.

Muchas gracias a los que respondieron, comentaron y vieron mi pregunta. Mi respuesta es que tengo que comenzar desde el Análisis Funcional, como sugiere el Sr. Bone. Recuerdo de la escuela secundaria que cuando un polinomio de x se equipara con y, produce la función de x con y. También recuerdo el teorema fundamental del álgebra para coeficientes reales. Entonces puedo comenzar a partir de este conocimiento.

Para el diseño de filtros digitales, agradezco las respuestas anteriores y me gustaría agregar algunos campos.

Primero, limitemos al archivo lineal. La linealidad, junto con la invariancia en el tiempo, son suposiciones raíz. Con ellos, los espacios vectoriales, la convolución (integrales y series) y las transformadas de Fourier (parte del análisis funcional, con trigonometría compleja y adn) se convierten en herramientas naturales. Insisto en que estas herramientas son consecuencias naturales de la linealidad / invariancia en el tiempo, si consigues eso, serás conducido suavemente hacia las herramientas que necesitas. La optimización es bastante generalizada en el diseño de filtros.

Por otro lado, puede tener en cuenta los campos adicionales. Es posible que le interese diseñar filtros complementarios, con diferentes velocidades, y el diseño de filtros multirate puede llevarlo a la factorización matricial, que también es útil en estructuras de filtro (enrejado, escalera) y factorización espectral. Si va a la implementación del sistema real (FPGA, microcontrolador), puede tener que sumergirse en la aritmética de punto fijo o entero. Por supuesto, la teoría de muestreo es un requisito de primer orden, especialmente si se hace multidimensional (procesamiento de imágenes). Incluso se pueden tocar las matemáticas superiores, con sistemas polinómicos y bases de Gröbner .

Me gusta mucho, para una introducción matemática básica y limpia de muchos temas, Análisis y Aplicaciones de Gasquet & Witomski Fourier: Filtrado, Computación Numérica, Wavelets .

Permítanme agregar un tema menos mencionado: una gran pregunta es a menudo el número de toques y la precisión (número de bits por coeficiente) requerida para satisfacer un determinado diseño de filtro. Dos fuentes:

• Ichige y col. Estimación precisa de la longitud mínima del filtro para filtros digitales {FIR} óptimos , Transacciones IEEE en circuitos y sistemas II: Procesamiento de señales analógicas y digitales, 2000
• Bellanger, Sobre la complejidad computacional en filtros digitales , 1981